基于粗糙集的学生综合能力判定

马利民 裴耀祖 白顺宝

【摘要】 本文借鉴多属性多准则粗糙集模型，建立相应的智能计算模型，以准确的判断学生的综合能力和兴趣点，旨在帮助教师合理地制订教学方案.

【关键词】 因材施教;学生能力判断;教学方案制订;粗糙集理论

一、引 言

在教育教学中，因材施教是一种非常重要的教育手段，若应用合理，能最大限度地挖掘学生潜力.在实际教学活动中，教师需要有目的、有计划、有组织地去引导学生积极自觉地学习.若找到学生的智能发光点，教师和家长应依据孩子的特点，构建相应的学习计划和课外活动，可激发学生的学习兴趣和潜在的能力.那么如何正确判断学生的综合能力，如何找每名学生的兴趣点？

1982年，波兰学者Pawlak提出的粗糙集理论（其英文名为Rough Set），其主要用来研究不精确、不确定以及不完整的数据或知识的表达、学习和归纳.自从20世纪80年代末以来，粗糙集在数据挖掘、机器学习、模式识别等学科中有了广泛的应用.

在学生的综合判断中可能会用到多种类型的属性和准则，如性别、成绩等，所以本文借鉴多属性多准则粗糙集模型.其针对决策表属性集合存在定性属性、定量属性、定性准则和定量准则的情况，构造知识粒子时需同时考虑四种关系：等价关系，相似关系，支配关系和拟半序关系.由此可以从多属性多准则粗糙集模型中导出三大类决策规则.从而得到每名学生相对较好的综合评价，据此建立相应的教学计划.

二、多属性多准则统计粗糙集模型

定性属性是属性值以代表类别的抽象概念或符号形式存在的属性，定量屬性是属性值以代表类别的具体概念或基数形式存在的属性，定性准则是准则值以代表级别的概念或符号形式存在的准则;定量准则是准则值以序数形式存在的准则.

用四元组S=<U，A，V，f>表示多准则多属性决策表，其中，U为论域;A=C∪D，C∩D=，C为条件属性集合，把C分为C≥，C>，C=，C～，C≥是定性准则集合，C>是定量准则集合，C=是定性属性集合，C～是定量属性集合，D为决策属性集合，且C≥∪C>∪C=∪C～∪D=A;V=∪ a∈A Va，Va为属性a∈A的属性值值域;信息函数f指定U中每一个对象x的属性值.对于 x∈U，与x存在关系的对象组成的集合称为x的邻域，即n（x）={y∈U：xRy}，x的邻域系统是x邻域的非空集合，标记为US（x）.概念X U的邻域系统为US（X）=∪ x∈X n（x）.利用决策准则D可把论域U中的对象分为n个有序决策类Cl1，Cl2，…，Cln，即Cl={Clt，t∈T}，T={1，2，…，n}，并且 u，v∈T，若u>v，则Clu中的元素比Clv中的元素好.

本文针对决策表属性集合存在定性属性、定量属性、定性准则、定量准则的情况，同时用等价关系、相似关系、支配关系、拟半序关系去构造知识粒子.

被近似集合为t-上合集Cl≥t=∪ s≥t Cls和t-下合集Cl≤t=∪ s≤t Cls.

对于P C，P仍然可分为P≥，P>，P=，P～，其中，P≥=P∩C≥是用支配关系处理的定性准则集合，P>=P∩C>是用拟半序关系处理的定量准则集合，P==P∩C=是用等价关系处理的定性属性集合，P～=P∩C～是用相似关系处理的定量属性集合.P≥，P>，P=，P～需要满足条件P≥∪P>∪P=∪P～=P且任意两个子集合的交集为空，即P≥∩P>=且P≥∩P==且P≥∩P～=且P>∩P==且P>∩P～=且P=∩P～=.

x，y∈U， q∈P≥，x定性支配y关于P≥，标记为xDPy; q∈P>，x定量支配y关于P>，标记为xBu1Py，其中u1为定量支配阈值; P P=，x与y无差异关于P=，标记为xIpy; P P～，x相似于y关于P～，标记为xRu2Py，其中u2为相似阈值.由于对象之间的关系由对象之间的属性值所体现，即

x，y∈U， q∈P≥，xDPy当且仅当f（x，q）≥f（y，q）; q∈P>，xBu1Py.当且仅当 f（x，q）-f（y，q） f（y，q） ≥u1 % ，u1为定量支配阈值; q∈P=，xIpy当且仅当f（x，q）=f（y，q）; q∈P～，xRu2Py当且仅当 |f（y，q）-f（x，q）| f（y，q） ≤u2 % ，u2为相似阈值.

通过分析可知， x，y∈U， q∈P≥，f（x，q）≥f（y，q）表示关于P≥，x定性支配y;f（x，q）=f（y，q）表示关于P≥，x与y无差异;f（x，q）≤f（y，q）表示关于P≥，x被y定性支配.然而， q P>， f（x，q）-f（y，q） f（y，q） ≥u1 % 表示关于P>，x定量支配y; f（y，q）-f（x，q） f（y，q） <u1 % 表示关于P>，x不被y定量支配; |f（x，q）-f（y，q）| f（y，q） <u1 % 表示关于P>，x与y无差异; f（y，q）-f（x，q） f（y，q） ≥u1 % 表示关于P>，x被y定量支配，其中0≤u1≤1是定量支配阈值.若f（y，q）≠0，则：

（1） f（x，q）-f（y，q） f（y，q） ≥u1 %  f（x，q）≥（1+u1）f（y，q）;

（2） f（y，q）-f（x，q） f（y，q） <u1 %  f（x，q）>（1-u1）f（y，q）;

（3）  |f（x，q）-f（y，q）| f（y，q） <u1 %  （1-u1）f（y，q）<f（x，q）<（1+u1）f（y，q）;

（4） f（y，q）-f（x，q） f（y，q） ≥u1 %  f（x，q）≤（1-u1）f（y，q）.

现在，给出两个二进制关系，记为MP和M*P，对于 x，y∈U有

xMPy当且仅当 P∈P≥有xDPy， P∈P>有xBu1Py， P P=有xIPy， P P～有yRu2Px.

xM*Py当且仅当 P∈P≥有xDPy， P∈P>有xBu1Py， P P=有xIPy， P P～有xRu2Py.

由MP和M*P产生四类知识表达粒子ML+P（x），MU+P（x），ML-P（x），MU-P（x）：

ML+P（x）={y∈U|yMPx};

MU+P（x）={y∈U|yM*Px};

ML-P（x）={y∈U|xM*Py};

MU-P（x）={y∈U|xMPy}.

定義1  若P C，t∈T，则Cl≥t的P-下近似为

P-（Cl≥t）={x∈U|ML+P（x） Cl≥t}. （1）

Cl≥t的P-上近似为

P-（Cl≥t）={x∈Cl≥t|MU+P（x）∩Cl≥t≠}. （2）

Cl≥t的边界为

BnP（Cl≥t）=P-（Cl≥t）-P-（Cl≥t）. （3）

同理，Cl≤t的P-下近似可以被定义为P-（Cl≤t）={x∈U|ML-P（x） Cl≤t};Cl≤t的P-上近似可以被定义为P-（Cl≤t）={x∈Cl≤t|MU-P（x）∩Cl≤t≠}，Cl≤t的边界为BnP（Cl≤t）=P-（Cl≤t）-P-（Cl≤t）.

定义2  若P C，t∈T，则Cl≥t的近似精度为

P（Cl≥t）= card（P-（Cl≥t）） card（P-（Cl≥t）） . （4）

Cl≤t的近似精度为

P（Cl≤t）= card（P-（Cl≤t）） card（P-（Cl≤t）） . （5）

定义3  若P C，t∈T，则决策类集合Cl的近似质量为

γP（Cl）= card U- ∪ t∈T BnP（Cl≥t  ∪ ∪ t∈T BnP（Cl≤t）   card（U） .  （6）

由性质3可知：

γp（Cl）= card U- ∪ t∈T Bnp（Cl≥t）    card（U） = card U- ∪ t∈T Bnp（Cl≤t）    card（U） .

三、基于粗糙集的学生综合能力判定系统

学生综合能力判定系统本质是一个分类（或分级）决策系统，其可以归结为用一组属性（或准则）描述的决策对象（或方案）分类（或分级）到预先定义的决策类中.早期主要用统计学的方法来解决，这类方法可以比较好的帮助人们理解分级问题的特征，但它过分依赖某些苛刻的统计假设.随后，一些学者提出了基于人工智能的分级决策模型，但是假如涉及的系统比较复杂时，这类模型很难找到合适的关系完整的表示出决策模型，并且需要决策者给出一些偏爱信息（这类信息通常以参数的形式给出，如权重、阈值、替代率等）.由于决策者的决策行为有时是无意识行为，只是凭着感觉和经验做出判断或选择，一般更倾向于给出一些决策例子，而不是将决策行为解释成关系模型的参数.并且，决策者的犹豫、偏爱等不稳定因素会导致出现不协调例子，需要在构造偏序模型时加以考虑而不能当成噪声干扰而简单忽略.所以，出现了从决策者的经验决策数据（例子）中导出偏好模型的理论与方法，粗糙集理论提供了从决策例子中导出决策规则的有效方法.

下表用来说明多属性多准则决策表，表1的论域U={w1，w2，w3，w4，w5，w6，w7，w8}为一名学生集合，以及6个条件属性：

A1，性别;

A2，数学成绩;

A3，语文成绩;

A4，英语成绩;

A5，体育成绩;

A6，美术成绩;

1个决策属性：

D，学生综合能力.

令C={A1，A2，A3，A4，A5，A6}和D={d}.通过分析可知A1定性属性，A2，A3，A4是定量准则，A5，A6是定性准则.

从多属性多准则决策表可以得到上、下近似集合和边界集合.由定义1，可以得到三大类决策规则，即M≥决策规则、M≤决策规则，M≥≤决策规则.其中P-（Cl≥t）中的对象支持M≥决策规则、P-（Cl≤t）中的对象支持M≤决策规则，P-（Cl≥t）∩P-（Cl≤s）中的对象支持M≥≤决策规则.

（R1）M≥决策规则的形式

如果f（x，q1）≥r1并且…f（x，qu）≥ru并且f（x，qu+1）稍大于ru+1并且…f（x，qv）稍大于rv并且f（x，qv+1）=rv+1并且…f（x，qw）=rw并且f（x，qw+1）相似于rw+1并且…f（x，qz）相似于rz，则x∈Cl≥t.

其中：p≥={q1，q2…qu}，P>={qu+1，qu+2…qv}，p=={qv+1，qv+2…qw}，p～={qw+1，qw+2…qz}，并且（r1，r2，r3，…，rz）∈Vq1×Vq1×…×Vqz.

（R2）M≤决策规则的形式

如果f（x，q1）≤r1并且…f（x，qu）≤ru并且f（x，qu+1）稍小于ru+1并且…f（x，qv）稍小于rv并且f（x，qv+1）=rv+1并且…f（x，qw）=rw并且f（x，qw+1）相似于rw+1并且…f（x，qz）相似于rz，则x∈Cl≤t.

其中：p≥={q1，q2…qu}，P>={qu+1，qu+2…qv}，p=={qv+1，qv+2…qw}，p～={qw+1，qw+2…qz}，并且（r1，r2，r3，…，rz）∈Vq1×Vq1×…×Vqz.

（R3）M≥≤决策规则的形式

如果f（x，q1）≥r1并且…f（x，qu）≥ru并且f（x，qu+1）≤ ru+1并且…f（x，qv）≤rv并且f（x，qv+1）稍大于rv+1并且…f（x，qt）稍大于rt并且f（x，qt+1）稍小于rt+1并且…f（x，qs）稍小于rs并且f（x，qs+1）=rs+1并且…f（x，qw）=rw并且f（x，qw+1）相似于rw+1并且…f（x，qz）相似于rz，则x∈Cls∪Cls+1∪…∪Clt.

其中：p≥={q1，q2…qu}∪{qu+1，qu+2…qv}，P>={qv+1，qv+2…qt}∪{qt+1，qt+2…qs}，p=={qs+1，qs+2…qw}，p～={qw+1，qw+2…qz}，并且（r1，r2，r3，…，rz）∈Vq1×Vq1×…×Vqz.

根据上述三大类决策规则，可以得到每名学生的综合评价，教师基于此可制订出适合不同学生的培养计划和教学方案.

四、结 论

本文结合实际需求，为了更好地实施因材施教教学手段，借鉴多属性多准则粗糙集模型，建立粗糙集的学生综合能力判定系统.

【参考文献】

[1]王倩怡.多属性多准则概率粗糙集模型研究[D].兰州：兰州大学，2016.

[2]瞿彬彬，卢炎生.基于粗糙集的属性约简算法研究[J].华中科技大学学报，2005（8）：30-33.

[3]刘丽艳，郑丽英.面向属性的决策规则挖掘算法的研究与应用[J].电气传动自动化，2005（5）：13-15.