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改进的广义压缩邻近点算法及收敛性证明

2018-01-05赵新宇张珏莹段培超

数学学习与研究 2018年21期
关键词:不动点

赵新宇 张珏莹 段培超

【摘要】 本文运用压缩邻近点算法,求解极大单调算子的零点,提出如下迭代格式: xn+1=λnf(xn)+γnxn+δnJcn(xn).

在Hilbert空间中,证明了该算法的强收敛性.

【关键词】 极大单调算子;不动点;黏滞迭代;非扩张映像

一、引言和预备知识

设H是一个实Hilbert空间,f:H→H是一个压缩映像,A:H→H是一个极大单调映射.

引理1  设{sn}是非负实数列,满足不等式

sn+1≤(1-λn)sn+λnεn,

其中(λn) (0,1),{εn}是实数列.

当参数满足以下条件:

(ⅰ)∑ ∞ n=0 λn=∞,lim n→∞ λn=0;

(ⅱ)lim supnεn≤0或∑ ∞ n=0 λn|εn|<∞,

则有 lim n→∞ sn=0.

引理2  设{εn}是有界实数列,并且{sn} [0,+∞),{σn} [0,+∞),{λn} (0,1)满足如下不等式

sn+1≤(1-λn)sn+λnεn-σn.

当参数满足以下条件:

(ⅰ)lim n→∞ λn=0,∑ ∞ n=0 λn=∞;

(ⅱ)对于每个子序列(σnk),都有

lim nk→∞ σnk=0 lim k→∞ supεnk≤0,lim nk→∞ |snk-snk+1|=0.

则有 lim n→∞ sn=0.

引理3  设A是极大的单调映射,则:

(ⅰ)Jc是单值的,且D(Jc)=Η;

(ⅱ)Jc是firmly非扩张的,2Jc-I是非扩张的.

二、主要结果

定理1  设H是一个实Hilbert空间,f:H→H是一个压缩映像,压缩系数为τ,A:H→H是一个极大单调映射.它的零点集S:={x∈D(A):0∈Ax}非空.当c>0时,Jc是A的预解式.任取x0∈H,定义xn+1=λnf(xn)+γnxn+δnJcn(xn),其中(λn) (0,1),(γn) (-1,1),(δn)∈(0,2),λn+γn+δn=1.如果进一步满足以下条件:

(ⅱ)lim n→∞ infcn>0;

(ⅲ)lim n→∞ λn=0,∑ ∞ n=0 λn=∞;

(ⅳ)0<lim n→∞ infδn≤lim n→∞ supδn<2.

則 lim n→∞ xn=z,其中z∈S.

证明  由于Psf是压缩的,由Banach压缩映像原理,一定存在唯一的不动点z,使得Psf(z)=z∈S.

步骤1

首先证明{xn}是有界的.设ρn:= δn 1-λn ,Jn:=Jcn,yn: =(1-ρn)xn+ρnJnxn,显然0<lim infnρn≤lim supnρn< 2.并且,有xn+1=λnf(xn)+(1-λn)yn.

所以对任意的z∈S,可得

‖xn+1-z‖=‖λnf(xn)+(1-λn)yn-z‖

≤λn‖f(xn)-z‖+(1-λn)‖yn-z‖.

又因为

‖yn-z‖=‖(1-ρn)xn+ρnJnxn-z‖

=    1- ρn 2  (xn-z)+ ρn 2 ((2Jn-I)xn-z)

≤ 1- ρn 2  ‖xn-z‖+ ρn 2 ‖(2Jn-I)xn

-(2Jn-I)z‖

=‖xn-z‖, (1.1)

所以

‖xn+1-z‖≤λn‖f(xn)-z‖+(1-λn)‖xn-z‖

≤λn‖f(xn)-f(z)‖+λn‖f(z)-z‖+(1-λn)‖xn-z‖

≤(1-λn(1-τ))‖xn-z‖+λn‖f(z)-z‖

=(1-λn(1-τ))‖xn-z‖+λn(1-τ) ‖f(z)-z‖ 1-τ .

通过归纳,我们得到

‖xn+1-z‖≤max ‖x0-z‖, ‖f(z)-z‖ 1-τ  ,

所以{xn}是有界的.

步骤2

‖xn+1-z‖2=‖λnf(xn)+γnxn+δnJcn(xn)-z‖2

=‖λnf(xn)+(1-λn)yn-z‖2

=‖(1-λn)(yn-z)+λn(f(xn)-z)‖2

≤(1-λn)2‖yn-z‖2+2λn〈f(xn)-z,xn+1-z〉

≤(1-λn)2‖yn-z‖2+2λnτ‖xn-z‖·‖xn+1-z‖+2λn〈f(z)-z,xn+1-z〉

≤(1-λn)2‖yn-z‖2+λnτ‖xn-z‖2+λnτ‖xn+1-z‖2+2λn〈f(z)-z,xn+1-z〉, (1.2)

所以根据(1.1)和(1.2),得到

‖xn+1-z‖2≤(1-λn)2‖xn-z‖2+λnτ‖xn-z‖2+ λnτ‖xn+1-z‖2+2λn〈f(z)-z,xn+1-z〉.

根据次微分不等式,有

‖xn+1-z‖2=‖(1-λn)(yn-z)+λn(f(xn)-z)‖2

≤(1-λn)‖yn-z‖2+2λn〈f(xn)-z,xn+1-z〉, (1.3)

并且

‖yn-z‖2=‖(1-ρn)xn+ρnJnxn-z‖2

=‖(xn-z)+ρn(Jnxn-xn)‖2

=‖xn-z‖2+ρ2n‖Jnxn-xn‖2+2ρn〈xn-z,Jnxn-xn〉

=‖xn-z‖2-ρn(2-ρn)‖Jnxn-xn‖2-2ρn〈Jnxn-z,xn-Jnxn〉.

因為 xn-Jnxn cn ∈A(Jnxn)和0∈A(z),由A的单调性知〈Jnxn-z,xn-Jnxn〉≥0,因此,‖yn-z‖2≤‖xn-z‖2-ρn(2-ρn)‖Jnxn-xn‖2.

用上式替换(1.3),

‖xn+1-z‖2≤(1-λn)‖xn-z‖2-δn(2-ρn)‖Jnxn- xn‖2+2λn〈f(xn)-z,xn+1-z〉.

因为lim infnδn(2-ρn)>0,不失一般性,假设存在μ>0,对于任意的n都有δn(2-ρn)≥μ.

步骤3

欲证明 lim n→∞ xn=z,只需证明引理2中的(ⅱ).即

lim n→∞ σn=0 lim n→∞ |sn+1-sn|=0,lim supnεn≤0.

设 lim n→∞ σn=0,则有 lim n→∞ ‖Jnxn-xn‖=0.

那么

|sn+1-sn|≤‖xn+1-xn‖(‖xn+1-z‖+‖xn-z‖)

=‖λn(f(xn)-xn)+δn(Jnxn-xn)‖(‖xn+1-z‖+‖xn-z‖)

≤(λn‖f(xn)-xn‖+2‖Jnxn-xn‖)(‖xn+1-z‖+‖xn-z‖).

因为{xn}有界且 lim n→∞ λn=0,所以 lim n→∞ |sn+1-sn|=0.

又有lim supnεn≤0,取{xn}中子集{xnk},{xnk}弱收敛于 ,lim n→∞ ‖Jnxn-xn‖=0,可得Jnkxnk弱收敛于 ,又由 xn-Jnxn cn ∈A(Jnxn)可得0∈A( ),

并且lim sup n→∞ 〈f(z)-z,xn+1-z〉=lim k→∞ 〈f(z)-z,xnk-z〉.

因此,lim sup n→∞ 〈f(z)-z,xn-z〉=〈f(z)-z,x  ^ -z〉≤0.

引理2中的(ⅱ)得证.所以 lim n→∞ xn=z.

【参考文献】

[1] Wang F H.Convergence of the generalized contraction- proximal point algorithm in a Hilbert space[J].Optimization:A Journal of Mathematical Programming and Operations Research,2015(4):709-715.

[2]Xu H K.Properties and Iterative Methods for the Lasso and Its Variants[J].Chinese Annals of Mathematics Series B,2014(3):501-518.

[3]Micchelli C A,Shen L X,Xu Y S.Proximity algorithms for image models:Denoising[J].Inverse Problems,2011(4):30.

[4]Wang F.A note on the regularized proximal point algorithm[J].Journal Of Global Optimization,2011(50):531-535.

[5]Marino G,Xu H K.Convergence of generalized proximal  point algorithm[J].Communications On Pure And Applied Analysis, 2001(3):791-808.

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