数列求和的方法及典例

吴爱国

【摘要】 本文对数列求和的常用六种方法进行了归纳总结.

【关键词】 数列;错位相减;裂项相消;前n项和

数列是高中数学中的重要内容，数列求和是最为常见的题型之一，是历年高考考查的热点问题.本文对数列求和方法作了归纳总结，并给出了典型例题，希望对大家有所启发.

一、公式法

等差数列或者等比数列求和，可以直接使用求和公式.特别地，12+22+32+…+n2= n（n+1）（2n+1） 6 ，13+23+33+…+n3=  n（n+1） 2  2等公式也可直接套用.

二、错位相减法

若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则{anbn}，  an bn  称为差比数列，差比数列求和采用错位相减法.

题（1）：求和Sn= 1 2 + 2 22 + 3 23 +…+ n 2n .

提示：法1： 1 2 Sn= 1 22 + 2 23 + 3 24 +…+ n 2n+1 作差得解.

法2：2Sn= 1 20 + 2 21 + 3 22 +…+ n 2n-1 作差得解.

结论：数列{（an+b）·qn-1}的前n项和为Sn=（An+B）·qn-B，其中A= a q-1 ，B= b-A q-1 .

三、裂项相消法

常见裂项类型如下：分式型裂项 1 n（n+p） = 1 p   1 n - 1 n+p  ;根式型裂项 1  n + n+p  = 1 p （ n+p - n ）;对数型裂项lg n+p n =lg（n+p）-lgn;指数型裂项aqn= a 1-q （qn-qn+1）.

题（2）：求和 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…+ 1 n（n+1） .

题（3）：求和 1 1×3 + 1 3×5 + 1 5×7 +… 1 （2n-1）（2n+1） .

题（4）：求和 1 1×3 + 1 2×4 + 1 3×5 +…+ 1 n（n+2） .

题（5）：求和 1 1×4 + 1 2×5 + 1 3×6 +…+ 1 n（n+3） .

题（6）：求和 1 1×2×3 + 1 2×3×4 + 1 3×4×5 +…+ 1 n（n+1）（n+2） .

四、分组求和法

数列{cn}中，cn=an+bn，或通项公式能分段表示等情形，均可采用分组求和法.

题（7）：求和（a-1）+（a2-2）+（a3-3）+…+（an-n）.

题（8）：求和7+77+777+…+77…7.

题（9）：求和1 1 2 +3 1 4 +5 1 8 +…+ （2n-1）+ 1 2n  .

题（10）：已知数列{an}，an= 2n-1，n为奇数， 2n，n为偶数，  求{an}的前n项和.

五、通项分析法

有些求和问题，必须对通项进行分析，化简，进而根据题目具体情形，问题得解.

题（11）：求和9+99+999+…+99…9.

题（12）：求和1+ 1 1+2 + 1 1+2+3 +…+ 1 1+2+3+…+n .

题（13）：求和12-22+32-42+…+（2n-1）2-（2n）2.

题（14）：求和（-1）+4+（-7）+10+…+（-1）n（3n-2）.

题（15）：求和1+3+5+7+…+（2n+3）.

题（16）求和1+（1+2）+（1+2+22）+…+（1+2+22+…+2n-1）.

六、倒序相加法

某些数列第n项与倒数第n项的和为定值，此情形采取倒序相加法.

题（17）：求和sin21°+sin22°+…+sin289°.

题（18）：已知f（x）= 1 2x+ 2  ，求f（-7）+f（-6）+f（-5）+…+f（7）+f（8）.

题（19）：已知f（x）= 1 4x+m （m>0），x1，x2∈ R .当x1+x2=1，f（x1）+f（x2）= 1 2 .

（ⅰ）求m.（ⅱ）求f（0）+f  1 n  +f  2 n  +…+f  n-1 n  +f（1）.

【參考文献】

[1]张永辉.新课标高考数学题型全归纳[M].北京：清华大学出版社，2011.