一类对称循环行列式的解法

田心

【摘要】 對于任意给定的正整数p，设dij=（i+j-1）p，i，j=1，2，…，p+1.对于p+1阶行列式Dp+1=|dij|p+1，本文利用组合公式Ckm+n=∑ k j=o CjmCk-jn和公式∑ p k=0 （-1）k（k+m）pCkp=（-1）pp！，m=1，2，…，p+1证明了Dp+1= （-1） p+1 2 （p！）p+1，p为奇数; （-1） p 2 （p！）p+1，p为偶数.  同时证明了第p+1行代数余子式之和∑ p+1 j=1 Ap+1j= （-1） p+1 2 （p！）p，p为奇数; （-1） p 2 （p！）p，p为偶数.   还推出了两个相邻幂次行列式的数值关系|（i+j-1）p|p+1=（-1）pppp！|（i+j-1）p-1|p.

【关键词】 行列式;组合公式;代数余子式

在计算行列式时，怎样简洁巧妙准确地计算是经常要考虑的问题.特别是对于一些有顺序有规律的行列式，如果能够证明其求解公式，应用起来就方便多了.范德蒙（Vandermonde）行列式就是一个典型的范例.对于p是任意给定的正整数，元素dij=（i+j-1）p，i，j=1，2，…，p+1的p+1阶行列式Dp+1=|dij|p+1，当p=1时，D2=-1;当p=2时，D3=-8=-（2！）3;当p=3时，我们研究发现D4=（3！）4;当p=4时，D5=（4！）5.看来，Dp+1随着p的变化，其值是依赖于p而呈现规律的.本文的目的就是研究探索这条规律，给定一个求解公式，以及这个求解公式的应用.

一、主要结果

我们要经常用到组合公式Ckm+n=∑ k j=o CjmCk-jn（*）和下列引理.

（一）引 理

引理  对于任意给定的正整数p和m=1，2，…，p+1均有∑ p k=0 （-1）k（k+m）pCkp=（-1）pp！.

要证明这个引理，需要用到两个公式.

公式1   设p是任意正整数，当n>p时，∑ n k=0 （-1）kkpCkn= 0.

公式2   设p是任意正整数，当n=p时，∑ p k=0 （-1）kkpCkp=（-1）pp！.

这两个公式用数学归纳法都容易证明，用这两个公式和二项式定理就可以证明这个引理.

（二）定理及其证明

1.证明思路

我们通过一个例题的计算来说明证明思路.

例1   求行列式D6=|（i+j-1）5|，i，j=1，2，3，4，5，6的值.

解  D6=  15 25 35 45 55 65 25 35 45 55 65 75 35 45 55 65 75 85 45 55 65 75 85 95 55 65 75 85 95 105 65 75 85 95 105 115  .

从第一行到第六行分别乘C05，-C15，C25，-C35，C45，-C55后累加到第六行.由引理得第六行每个元素均为-5！.用-1乘第六行，提取公因子5！后，从第一列到第六列依次逐列相减，最后按第六行展开得

D6=5！  15-25 25-35 35-45 45-55 55-65 25-35 35-45 45-55 55-65 65-75 35-45 45-55 55-65 65-75 75-85 45-55 55-65 65-75 75-85 85-95 55-65 65-75 75-85 85-95 95-105  .

从第一行到第五行分别乘C04，-C14，C24，-C34，C44后累加到第五行，利用组合公式（*）和引理得第五行每个元素均为-5！.提取公因子-5！后，从第一列到第五列依次逐列相减，最后按第五行展开得

D6=-（5！）2  ∑ 2 k=0 （-1）k（k+1）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+2）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+3）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+4）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+2）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+3）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+4）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+5）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+3）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+4）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+5）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+6）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+4）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+5）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+6）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+7）5Ck2   .

从第一行到第四行分别乘C03，-C13，C23，-C33后累加到第四行，利用组合公式（*）和引理得第四行每个元素均为-5！.用-1乘第四行，提取公因子5！后，从第一列到第四列依次逐列相减，最后按第四行展开得

D6=-（5！）3  ∑ 3 k=0 （-1）k（k+1）5Ck3 ∑ 3 k=0 （-1）k（k+2）5Ck3 ∑ 3 k=0 （-1）k（k+3）5Ck3 ∑ 3 k=0 （-1）k（k+2）5Ck3 ∑ 3 k=0 （-1）k（k+3）5Ck3 ∑ 3 k=0 （-1）k（k+4）5Ck3 ∑ 3 k=0 （-1）k（k+3）5Ck3 ∑ 3 k=0 （-1）k（k+4）5Ck3 ∑ 3 k=0 （-1）k（k+5）5Ck3   .

从第一行到第三行分别乘C02，-C12，C22后累加到第三行，利用组合公式（*）和引理得第三行每个元素均为-5！.提取公因子-5！后，从第一列到第三列依次逐列相减，最后按第三行展开得

D6=（-1）2（5！）4  ∑ 4 k=0 （-1）k（k+1）5Ck4 ∑ 4 k=0 （-1）k（k+2）5Ck4 ∑ 4 k=0 （-1）k（k+2）5Ck4 ∑ 4 k=0 （-1）k（k+3）5Ck4   .

第一行減去第二行，利用引理得第一行每个元素均为-5！.提取公因子-5！后，再用第一列减去第二列得

D6=（-1）2（-1）（5！）5  0 1 ∑ 5 k=0 （-1）k（k+2）5Ck5 ∑ 4 k=0 （-1）k（k+3）5Ck4

=（-1）3（5！）5（-1）∑ 5 k=0 （-1）k（k+2）5Ck5

=（-1）3（5！）5（-1）（-1）5！

=（-1）3（5！）6

=（-1） 5+1 2 （5！）6

=-（5！）6.

这里值得注意的是-1的幂次问题.容易想到，无论p是奇数或偶数，在我们利用组合公式（*）和引理的计算中，第p+1行一定是正值p！，最后得到的二阶行列式的值一定是-（p！）2.所以，实际上决定-1幂次的是中间的p-2行.在我们的例子中出现负号的是第五行和第三行，再加上前两行出现的一个负号，故得（-1）3=（-1） 5+1 2 .

2.证明定理

定理  设p是任意给定的正整数，元素dij=（i+j-1）p，i，j=1，2，…，p+1，则p+1阶行列式Dp+1=|dij|p+1= （-1） p+1 2 （p！）p+1，p为奇数， （-1） p 2 （p！）p+1，p为偶数.

证明  我们把Dp+1简记为

Dp+1=  1p 2p 3p … pp （p+1）p 2p 3p 4p … （p+1）p （p+2）p 3p 4p 5p … （p+2）p （p+3）p   pp （p+1）p （p+2）p … （2p-1）p （2p）p （p+1）p （p+2）p （p+3）p … （2p）p （2p+1）p   .

先证明p是偶数的情形.

从第一行到第p+1行分别乘C0p，-C1p，C2p，…，-Cp-1p，Cpp后累加到第p+1行，利用组合公式（*）和引理得第p+1行每个元素均为p！.提取公因子p！后得

Dp+1=p！  1p 2p 3p … pp （p+1）p 2p 3p 4p … （p+1）p （p+2）p 3p 4p 5p … （p+2）p （p+3）p   pp （p+1）p （p+2）p … （2p-1）p （2p）p 1 1 1 … 1 1  .  （2.1）

从第一列到第p+1列依次逐列相减后按第p+1行展开得

Dp+1=p！  1p-2p 2p-3p … （p-1）p-pp pp-（p+1）p 2p-3p 3p-4p … pp-（p+1）p （p+1）p-（p+2）p 3p-4p 4p-5p … （p+1）p-（p+2）p （p+2）p-（p+3）p  （p-1）p-pp pp-（p+1）p … （2p-3）p-（2p-2）p （2p-2）p-（2p-1）p pp-（p+1）p （p+1）p-（p+2）p … （2p-2）p-（2p-1）p （2p-1）p-（2p）p   .

从第一行到第p行分别乘C0p-1，-C1p-1，C2p-1，…，Cp-2p-1，-Cp-1p-1后累加到第p行，利用组合公式（*）和引理得第p行每个元素均为p！.用-1乘第p行，提取公因子-p！后，从第一列到第p列依次逐列相减，最后按第p行展开得

Dp+1=-（p！）2  ∑ 2 k=0 （-1）k（k+1）pCk2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+2）pCk2 … ∑ 2 k=0 （-1）k（k+p-1）pCk2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+2）pCk2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+3）pCk2 … ∑ 2 k=0 （-1）k（k+p）pCk2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+p-1）pCk2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+p）pCk2 … ∑ 2 k=0 （-1）k（k+2p-3）pCk2   .

从第一行到第p-1行分别乘C0p-2，-C1p-2，C2p-2，…，-Cp-3p-2，Cp-2p-2后累加到第p-1行，利用组合公式（*）和引理得第p-1行每个元素均为p！.提取公因子p！后，从第一列到第p-1列依次逐列相减，最后按第p-1行展开，进入p-2行的运算.这样一直做下去，一层接一层地运算一直到第二行得

Dp+1=（-1） p-2 2 （p！）p-1  ∑ p-1 k=0 （-1）k（k+1）pCkp-1 ∑ p-1 k=0 （-1）k（k+2）pCkp-1 ∑ p-1 k=0 （-1）k（k+2）pCkp-1 ∑ p-1 k=0 （-1）k（k+3）pCkp-1   .

第一行减去第二行，利用引理得第一行每个元素均为p！.提取公因子p！后，再用第一列减去第二列得

Dp+1=（-1） p-2 2 （p！）p  0 1 ∑ p k=0 （-1）k（k+2）pCkp ∑ p-1 k=0 （-1）k（k+3）pCkp-1

=（-1） p-2 2 （p！）p·（-1）∑ p k=0 （-1）k（k+2）pCkp

=（-1） p 2 （p！）p+1.

对于p是奇数的情形证明完全类同.不同之处是计算-1的幂次问题.无论p是奇数或偶数，第p+1行一定是正值，最后得到的二阶行列式一定是负值.所以，只计算中间的p-2行的-1的幂次即可.由于从第p行到第三行的正负号的排列依次是-，+，-，+，…这样负正相间排列，所以当p为奇数时，-1的幂次一定是 p-2+1 2 = p-1 2 ;当p为偶数时，-1的幂次一定是 p-2 2 .

因此，当p为奇数时，-1的幂次为 p-1 2 +1= p+1 2 ;当p为偶数时，-1的幂次为 p-2 2 +1= p 2 .定理证毕.

利用定理由（2.1）式得：

推论1  设Ap+1k，k=1，2，…，p+1是代数余子式，则∑ p+1 k=1 Ap+1k= （-1） p+1 2 （p！）p，p为奇数; （-1） p 2 （p！）p，p为偶数.

容易看出.

推论2  对于任意给定的正整数p，均有|（i+j-1）p|p+1=（-1）pppp！|（i+j-1）p-1|p.

推论2揭示了两个相邻幂次行列式的数值关系.

二、结 语

本文的定理以及证明的思想方法也可以应用到对称循环矩阵上.定理已经告诉我们矩阵 A =（（i+j-1）p）p+1的特征值的乘积，这样对求 A 的特征值或将 A 对角化提供了 有力的佐证.此外，用本文的求解思想方法可求矩阵 A 的顺序主子式以判定 A 的正定性.期望并欢迎读者做这方面的研究.