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线性代数第一堂课的一点经验之谈

2018-01-05毕金

数学学习与研究 2018年21期
关键词:线性代数高等数学

毕金

【摘要】 线性代数是一门比较抽象的课程,学生学习起来觉得困难、吃力.如何在第一堂课上让学生认同这门课并产生浓厚的学习兴趣呢?本文根据笔者多年来在教学实践中的思考,介绍线性代数授课经验,浅谈一下线性代数第一堂课如何设计.

【关键词】 线性代数;第一堂课;高等数学

一、引 言

线性代数与高等数学是理工、经管类本科生第一学期重要的公共基础课,是自然科学知识当中重要的组成部分,是一切相关课程的基础.没有这两门课程的预备知识,后续课程没法做到衔接,可见其重要性.这两门课程同时开设,在学习的过程中,相比高等数学而言,很多学生觉得线性代数内容抽象,晦涩难懂,学习起来吃力,还会问有什么用.基于这一点,我們对现在选用的线性代数教材也进行了改革,每一章最后一节都增加跟知识点相关的实际应用问题,以便学生加强理解知识点的背景.另外,每一学期也会布置一次作业,让学生去找与自己专业相关的线性代数的应用题目.为了引起学生的学习兴趣,了解这门课程的地位、重要性,以及为后续其他相关专业课程的学习打好基础,第一堂课,课程的引入尤其重要.

二、具体内容

先从高等数学相关知识出发.问学生:“高中有没有学过如何求平面上不规则图形的面积?”用板书给学生画一个平面上曲边梯形,求其面积.

虽然学生来自不同省份,但是每年班上90 % 以上的学生都能回答出用定积分来求.让学生列出定积分的式子 ∫baf(x)dx,说出如何求出定积分的值.举一个简单的例子∫10xdx,学生马上能回答出计算结果为 1 2 .

按高等数学中定积分知识,这个问题是可解的.可是做实际问题求不规则图形面积时,定积分也有不能解决的问题.比如,被积函数的原函数无法表示,以及实际背景之下,不知道边界曲线表达式,这个时候怎么办呢?解决这样的实际问题,高等数学知识不够,需要用到线性代数的知识.可以通过测量得一些离散数据.比如,有两组数据(x1,y1),(x2,y2),两点可以确定一条直线y=kx+b,代入求解二元线性方程组把系数定出来,再用直线作为曲边的近似曲线,从而求出曲边梯形的面积的近似值.但这个结果显然近似程度不高,因此,希望多取几组离散数据来作为曲边的近似曲线,从而提高近似程度.如果取3组数据要定二次多项式需要解三元线性方程组.如果取n组数据,需要解n元线性方程组.问学生解线性方程组用什么方法,学生都知道用消元法.带领学生一起用消元法求解二元线性方程组,把结果写出来,再让学生自己试着用消元法解3元线性方程组,学生就会发现计算困难,过程复杂,更不用说解n元线性方程组了.在求解实际问题时,n通常非常大,比如,数值计算当中经常用到150个以上.这个时候显然用消元法一步步求解已经不现实了.这属于数值计算中非常经典的插值问题.插值问题的解决需要求解线性方程组,而这个问题对应的线性方程组是方程个数与未知量个数相等的情况.

如果线性方程组方程个数跟未知量个数不相等有没有实际意义呢?有,比如,非常经典的道路交通问题.画出某道路交通网,用箭头表示道路行驶方向,数字表示已知单位时间通过部分道路的车流量,试求出单位时间内通过剩下道路的车流量问题.通过每个路口的从不同方向进去的车辆跟出去的车辆数量相同,列出方程个数跟未知量个数不同的线性方程组.

由以上两个通俗易懂的实际问题,引出应用价值高的第一章线性方程组的解法.特殊地,当方程个数与未知量个数相同时,可考虑用行列式进行求解.一般地,如果方程个数与未知量个数不同,行列式不能用,需要借助矩阵相关知识进行求解,由此引出线性代数两大入门概念,行列式与矩阵.这样教材的前三章的背景很自然就出来了.

三、小 结

第一堂课,从高等数学知识出发,引入线性代数的相关知识,让学生理解,原来光是靠高等数学只能解决一些连续问题,可是实际问题很多都是离散背景,这就需要线性代数知识.所以,很多实际问题的解决,是需要高等数学跟线性代数知识一起用.如果说高等数学是连续问题的基础,线性代数则是离散问题的基础,两门课程相辅相成.

【参考文献】

[1]胡觉亮.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2013.

[2]同济大学数学系.高等数学:第7版[M].北京:高等教育出版社,2014.

[3]李庆扬,王能超,易大义.数值分析:第5版[M].北京:清华大学出版社,2008.

[4]陈怀琛,高淑萍,杨威.科学计算能力的培养与线性代数改革[J].高等数学研究,2009(3):23-25.

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