基于几何直观的问题解决教学

程响

几何直观是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。在小学数学教学中，不管是低年级的实物图，还是中高年级的示意图和线段图，都能对学生弄清数学问题、明晰数量关系、寻找解题策略起到积极的作用，都能有效地培养学生解决问题的能力。

一、借助几何直观，描述数学问题

几何直观是揭示数学对象的性质和关系的有力工具，借助几何直观来客观地描述数学问题是帮助学生理解题意的重要途径。波利亚指出，图形不仅是几何问题的对象，其对于解答各类问题都有很大帮助，即使初看起来问题与几何无关。可见，图形不仅是研究几何问题必不可少的对象，而且是解决问题的一种重要的辅助工具。

在一年级教学中有这样的一道题：“从左往右数，明明站在第6个，从右往左数，明明是第8个。这一排队伍一共有多少人？”这样的题目对于一年级的学生，较容易直接列式得到“6+8=14（人）”的结果，即便有教师指出错误，告诉他们还要多一步“14-1=13（人）”才对，学生也是无法理解的。此时用直观简单的图示法就能很快地让学生弄懂题意。在教师引导下师生一起画出图1。这时应当先指导学生看图说清题意：从左数明明是第6个，所以明明的左边有5人（6-1）；从右数明明是第8个，明明右边有7人（8-1）。然后再问一共有多少人，学生能列出式子“5+1+7”从而得出正确结果。

如果学生列出算式“6+8”，教师还可以借助图2来指导。此时可以这样讲清题意：从左边第一个人到明明处共有6人（第一行），从右边第一个人到明明处共有8人（第二行），这样一共有14人（6+8），但两个明明都指同一个人（第三行图），所以是13人（14-1）。

对比两种直观图示法，我们会发现第一种方法只需要讲清将这一排人员分成三部分——明明的左边、明明、明明的右边，把三个部分数合并成一个数，这对于一年级的学生是较容易理解的；而第二种方法，学生虽然在“重叠”这一点上存在困难，但如果教师能用动图展示第一、二行合并成一行的过程，对问题的解决是有帮助的。同时，利用图形来描述和分析数学问题，借助几何直观把数学问题形象化，有助于学生寻找和理解解决问题的正确方法，从而促进学生解决问题能力的提高。

二、利用几何直观，分析数量关系

徐利治先生指出，几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系，产生对数量关系的直接感知。小学生的思维特点是以具体形象思维为主，逐步向抽象逻辑思维过渡，而化抽象为形象恰恰是几何直观的突出优势。在解决问题的过程中，教师常常会鼓励学生“画个图试试看”，其实就是希望他们在画图的过程中用直观形象的方式去分析习题中的数量关系，找到已知和未知之间的通道，实现从“文字信息”到“图形信息”的转化，顺利解决问题。

六年级“比的应用”中有这样的一道题，“一条公路，已修和未修的比是2∶3，如果再修6千米就正好到达中点。这条公路全长多少千米？”一般有以下两种方法，其一，学生们会用比的知识来解答，从题意可知已修2份，未修3份，全长（2+3=5）份，再修6千米到达中点，也就是2.5份（5÷2）”，可以列出算式来求全长是6÷（2.5-2）×5=60（千米）。其二，可以从分数问题的角度来思考，从已知“已修和未修的比是2∶3”看出已修全长的 ，从“再修6千米就正好到达中点”可知还差6千米就完成 ，所以得到全长的（ - ）是6千米，要求全长可以是6÷（ - ）=60（千米）。

对这样一道六年级的数学问题，是可以通过几何直观来画图帮助分析数量关系的（图3）。

从直观上分析这个线段图里的数量关系，便可以得到这条公路的全长是6×10=60（千米）。因为中点把第三份平均分成了两个小段，每小段长6千米，全长有5份，也就是10个小段，求全长实际上就是求10个6千米。这样简单的数量关系在线段图上一目了然，学生完全可以基于经验，凭借观察、想象等途径直观地感知问题的结果，这就是几何直观最大的优势。

一般地，数学教学活动要求学生有目的、有计划地去感知确定的对象，感知目的越明确，感官的指向就越集中，感知目标越鲜明，建立的表象就越清晰。线段图的直观性，为学生提供了有利的感性认识，让学生通过观察寻找数学信息，分析把握数量关系，揭示反映问题的本质。

三、依托几何直观，探索解题策略

小学生在学习和生活中，借助几何直观，通过观察与操作活动获得并储备了各种表象，但在解决问题时，会因为相关信息不能及时调用而不知所措。这时，教师可以引导学生根据表述问题的文字或语言，唤起学生头脑中相应的知识经验，探索解决问题的策略。

人教版三下“数学广角——搭配”中有这样一道题：“5个人每2个人通一次電话，一共要通多少次电话？”学生可能会选择用枚举的方法来一一罗列五个人互通电话的情况，然后得出答案。而此时教师如果能够启发学生用5个点表示5个人，任意两点间的线段来表示通话，就可以画出图4。从图中可以看出，每一个人都可以主动向其他4个人拨出电话，那么5个人一共会拨出20次电话，但是由于“每2个人通一次电话”，所以每2次电话（如A打给B、B打给A）中有1次是重复的，正确的结果应该是10次。

同样还是图4，教师还可以向学生讲解第二种方法：第一个人A可以打给4个人（即B、C、D、E）；第二个人B已和A通过话，只要打给其他3个人（即C、D、E）；同理，C只要打给2个人（即D、E），D只要打给1个人（即E）。这样，一共要通10次电话。

对于上述的例子，我们实际上是依托几何直观并运用转化的数学思想，把这个数学问题转化成了“五个点（每三点不共线）一共可以连接多少条线段”的问题来帮助学生更好地探索问题解决的策略。

（作者单位：福建省福州延安中学小学部）endprint