借助密克定理再探锐角三角形内所能包含的最大正方形问题

2018-01-05张建权

中学数学杂志(初中版) 2017年6期

1背景介绍

图1题目（2013 天津）如图1，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上.

（Ⅰ）△ABC的面积等于；

（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图的方法（不要求证明）.

本题是2013年天津市中考数学卷的第18题，该题的第（Ⅱ）问设计精巧，内涵可谓极其丰富.但是很多文章对该问的解答都回避了一个问题，即为什么△ABC中所能包含的面积最大的正方形一定是△ABC的内接正方形？或者说，如果一个正方形只有三个顶点分别落在△ABC的三条边上，那么这样的正方形为什么不可能是最大的？终于，两年多之后，文[1]（下称“原文”）针对这个问题做了比较详尽的解答，读来令人激动万分！细细品味该文后，针对这个问题笔者从另一个角度作了进一步思考，现将本人的思考整理成文，以就教于同行.

2构造更具一般性的三个顶点分别落在△ABC的三条边上的正方形

图2原文中，为了说明三个顶点分别落在△ABC的三条边上的正方形的存在性，先作∠ABC的平分线交AC于点D，如图2，过点D分别作AB、BC的垂线段DE、DF，在AB、BC上分别取点G、H，使得∠EDG=∠FDH=12（90°-∠ABC），再过点G作DH的平行线交BD于点K，连接HK（原文为“过点H做DG的平行线”，不够严谨），易证四边形DGKH为正方形.

显然，此时的∠AGD是一个定值，但在随后的代数推理過程中（原文换了字母）又被当成一个变量（∠B≤∠AGD≤90°），那么问题来了，原本∠AGD是固定的，当它发生变化时，四边形DGKH还是一个正方形吗？如果是，又如何保证它的三个顶点分别落在△ABC的三条边上且第四个顶点在△ABC的内部呢？换句话说，如何构造更具一般性的三个顶点分别落在△ABC的三条边上的正方形？笔者对此进行了深入的思考，发现可以多次利用位似图形放大，直至有三个顶点分别落在△ABC的三条边上，现展示具体作法.

图3图4图5图6如图3，作一直线MN与△ABC的两边分别交于M、N，且∠B≤∠ANM≤90°，在线段MN上取适当的两点D、E，在直线MN的右侧作正方形DEFG，且该正方形包含于△ABC（类似两圆的位置关系）；接下来，将正方形DEFG连续位似放大，作直线DF、EG交于点O，它们与△ABC的三边交于B1、B2、B3、B4四点，如图4，比较ODOB1、OEOB2、OFOB3、OGOB4中的最小值，不妨设OEOB2最小，以点O为位似中心，将正方形DEFG逐渐放大直至点E与点B2重合；作射线ED、EF交AC、BC于C1、C2，如图5，同样，比较EC1ED、EB4EG、EC2EF中的最小值，不妨设EC1ED最小，以点E为位似中心，将正方形DEFG逐渐放大直至点D与点B1重合；作射线AG、AF交BC于D1、D2，如图6，比较AD1AG和AD2AF的大小，不妨设AD2AF较小，以点A为位似中心，将正方形DEFG逐渐放大直至点F与点D2重合.

通过以上有限的步骤可知，当∠B<∠ANM<90°时，可以得到一个只有三个顶点分别落在△ABC的三条边上且第四个顶点在△ABC内部的正方形，相比于原文中构造的正方形更具一般性；而当∠ANM=90°-∠C或 90°时，正方形DEFG内接于△ABC.同时，不难发现，这一构造的过程也回答了为什么只要比较原文中的（5）（6）两种情形.原文证明情形（5）不可能最大的方法偏重于代数推理，不够直观，那么有没有更直观的方法呢？这再度引起了笔者的思考.

3利用密克定理使证明过程更直观化

由于有三个顶点分别落在△ABC的三条边上，这让笔者联想到了密克定理，即在一个三角形的每一条边上各取一点，过三角形的每一个顶点与两条邻边上所取的点作圆，则这三个圆共点（其证明过程非常简单，参见文[2]）.如图7，作出这样的三个圆，由密克定理可知，它们交于一点，设该点为O，连接AO、BO、CO，延长BO交AC于点H，由三角形的外角性质得，∠AOB=∠OAH+∠OHA=∠OAH+∠ACB+∠CBH，连接OE，根据“同弧所对的圆周角相等”可得，∠OAH+∠ACB+∠CBH=∠ACB+∠DEO+∠OEF=∠ACB+∠DEF=∠ACB+90°，即∠AOB=∠ACB+90°.同理可得，∠AOC=∠ABC+90°，∠BOC=∠BAC+90°，因为△ABC的三个内角都是定值，所以∠AOB、∠AOC和∠BOC也是定值，从而可以得到这样一个结论：当∠AED在其取值范围内发生变化时，点O是△ABC内的一个定点（实为三条弧形轨迹的公共点，可参考文献[3]）.

图7图8进一步，连接DO、FO和DF，如图8，根据“圆的内接四边形对角互补”可得，∠DOF=180°-∠ACB，∠DOE=180°-∠BAC，∠EOF=180°-∠ABC，显然∠DOF、∠DOE和∠EOF也是定值，因此，点O在等腰Rt△DEF亦即正方形DEFG内的相对位置是不发生变化的.连接OG，由相似性质可知，线段OD、OE、OF和OG两两之间的夹角和比值都是定值，此时，我们可以发现，正方形DEFG实际上是以点O为中心作旋转位似放缩运动.由于点D、E、F都是在直线上运动，根据文[4]的结论可知，点G也在一条直线上运动，同时，点O分别到该直线和直线AB的垂线段的长度之比等于OGOE图9且它们的夹角等于∠EOG.设该直线分别与AC、BC交于点G1、G2，如图9，那么点G的轨迹就是线段G1G2，当OG取最大值时，正方形DEFG的面积最大，此时，点G必与点G1、G2中的一点重合，即正方形DEFG是△ABC的内接正方形.下面的工作就是比较△ABC的三个不同内接正方形的大小，本文不再赘述.