初中数学教材中的解析法

凌飘+梅全雄

【摘要】解析法在数学中应用广泛，而在教学中教师经常忽略对此法的渗透，在习题教学中此种情况尤甚，因而导致学生在解题时也不具备运用此法来解题的意识.义务教育阶段的学习是进行高等教育的基础，因而在初中数学教学中，教师就要注重培养学生解析意识.通过对人教版初中数学教材进行分析，发现教材中数学内容的结构安排符合解析法思路，并且解析法也蕴藏着丰富的教育价值.

【关键词】解析法；方法论；数学核心素养；数形结合；运算能力；计算思维

1何为解析法

通常谈及“解析”二字，我们会联想到笛卡尔的解析几何.笛卡尔的解析几何实质上是将代数和几何相互融合，取长补短，创立了用代数解决几何问题的一般方法.他提出一个求解模式，即任何问题数学化后，再将其转化为代数问题，最后用方程来解决.而其中转化的关键在于他提出的另一个伟大的方法——建立坐标系，这也是解析法的核心关键步骤.著名数学家费马，明确的使用了坐标概念，将笛卡尔代数方程中的“未知数”，即变量确定为坐标系中的横坐标、纵坐标，为笛卡尔的一般方法创建提供了强有力的支持.因此，在笛卡尔和费马对普适性方法的追求过程中，解析几何问世.

解析几何的创立给我们提供了求解的一般步骤，即先建立坐标系，利用已知条件确定点的坐标和曲线方程，而这两个步骤可以称之为“坐标法”，这也是大家通常所认为的解析法.其实，解析法的使用范围并不仅仅是找坐标求曲线方程，它还可利用代数方法来研究我们在坐标系内得到的几何图形或者曲线方程的类型、性质与位置关系等.因而，解析法可归纳为这两个步骤：几何化—代数化.几何化这一步骤中包含两个操作，一是建立恰当的坐标系，二是将已知条件和所求目标放在坐标系内，用坐标表示.代数化只包含一个操作，即利用代数方法求解或进一步探寻曲线的有关性质.

2教材中的解析法

21解析法的课程结构图

图1人教版教材与解析法有关的教学内容结构安排，如图1.在七年级上册有理数章节中借助数轴，引进了相反数和绝对值的概念，從此建立了“数”与“形”的联系.七年级下册“平面直角坐标系”这一章节中介绍了平面直角坐标系以及坐标法.随后，初中数学内容中的三大板块与坐标法结合，即图形的变换、函数以及方程（组）与不等式（组）.首先教材中的几何图形的变换板块，其中包括对平面图形与立体图形的初步认识，教材中以平面图形的认识为主，包括直线、射线和线段的认识，其次就是图形的简单变换，如平移、轴对称、中心对称.后者均运用了坐标法，而前者虽然教材将其安排在七年级上册，仅简单的从“形”的角度来认识，但学习函数的知识后，可将其与“数”建立联系，这其实是一种解析法的思想.人教版教材对方程和函数的处理采取了先从实际问题中引出方程，而后引进函数概念，并利用函数图象来再认识方程，使方程不再依赖实际问题背景.显然这对学生逻辑思维要求更高，而在坐标系内通过研究函数图象来直观的解方程又不会让学生对函数与方程感到难以接受.

总之，从整体上看，教材中各内容的安排顺序是顺应解析法的思路.初中教材全部教学内容可分为四部分，即数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践，由图1可知，解析法涉及了教材一半的内容.从局部看，图1中的三大块内容教学安排也各自体现了解析法思想，虽然大都只是坐标法的简单应用，但坐标法是解析法的核心和关键，同时也是基础.在初中阶段进行逐步渗透，使得学生能掌握解析法的核心.这样至少可以让学生在今后面对数学难题时，能多一个解题途径和想法.

2.2实例

人教版教材中关于几何图形的初步认识，其中包括对点、线段、射线、直线、圆和几种曲线的内容介绍，我们从解析法角度对以上内容进行探究.

对点进行解析：

如，x+2=0放在数轴上或者坐标系内表示点（-2，0）；

对线段进行解析：

如，-1≤x≤5，此不等式若放在数轴或坐标系内，就可表示单位长为6的线段；

对射线进行解析：

如，x≤-1，此不等式放在数轴或坐标系内，可表示为一条射线；

对直线进行解析：

y=kx+b，k≠0表示过点（0，b）的直线，斜率为k，b是截距，截距不是距离，故可正可负；而直线y=kx+b，k≠0又是一次函数，过定点（0，b）.前者是将直线放入坐标系内，通过观察分析图形得到的，后者则运用函数观点，通过坐标轴来研究其图像的性质.

以上对点、直线、线段与射线的解析均借助了坐标系，将数的抽象借助形的直观来展现，通过这种“以形助数”的方式，可使学生对所学内容理解得更加深刻.其实，就这一个简单的转化却蕴含着某些重要的数学思想方法，数学思想方法是数学学习的重要素养之一.解析法是代数与几何的相互融合，它很好的诠释了“数”与“形”结合的思想，即将复杂的“数”的问题转化为几何的“形”.

对于直线也可以直观的通过分析坐标系内点的特点，得出某些类似于“数”或“形”的结论.如，通过分析x轴上点的坐标特点，可总结出一个结论：x轴可用直线y=0来表示；同样可分析y轴上的坐标特点，得出结论：y轴可用直线x=0来表示；分析点（-1，1），（0，1），（1，1），…，（3.14，1）的特点，可得出结论：这些点都经过直线y=1；分析点（1，0），（1，1），（1，2），…，（1，-2），…，（1，3.1415）的特点，可得出结论：这些点都经过直线x=1；亦可通过观察得到直线x=-1与直线y=-1分别垂直于x轴和y轴的结论；以上结论都可通过观察图形而轻易获得，这充分体现了“数”与“形”的结合之便利.

对圆进行解析：

初中教材中曲线这一部分学生最熟悉的就是圆.到定点等于定长的点的轨迹，即是圆.解析法视角下，可先建立坐标系，设圆心为（x0，y0），半径为r，则圆的方程为x-x02+y-y02=r2；特别地，当r=0时，圆就成了点了.以上方程与结论依靠建系，直观的呈现在学习者面前，增强了知识的可接受性.通过以上圆的解析和直观图形可以想象，若把圆压扁一点就成了椭圆，则可根据圆的方程x2a2+y2a2=1，来猜想一下椭圆方程.endprint

对曲线进行解析：

教材中函数部分介绍了反比例函数和二次函数，将函数与坐标系结合，即数与形的结合，以便研究函数图象性质.反比例函数y=kx，可看成双曲线k=xy，（k≠0），其中k也可表示为曲线上一点向两坐标轴引垂线与两坐标轴围成的图形的面积.二次函数y=x2的图像是顶点为原点，对称轴为y轴，开口向上的抛物线；而一般地，y=ax2+bx+c（a≠0）的图像是顶点为-b2a，4ac-b24a，对称轴是x=-b2a，a>0（a<0）开口向上（向下）的抛物线.利用坐标系来发掘函数的几何意义与性质，可加深学生对函数的理解，也有助于解析意识的培养.

总之，通过以上分析我们可以说解析法获取过程也是数形结合思想的渗透的过程.

3意义

其实，解析法真正的价值不仅只是给学生提供了解题的想法.解析法可以有助于认识和改造世界，有助于培养数学核心素养、有助于计算思维的养成.

3.1有助于认识和改造世界

起初人们对世界的认识是浅层次的，仅从多少和形状这一侧面来认识事物.作为数学，随着人类的认识的深入以及知识的积累，人们逐渐舍弃了事物质的特性，寻找到了认识事物量的方法.开始了从数的量的方面来研究数的性质、关系及其基本运算规律和形的性质和关系.从而形成了算术和几何学.而代数的产生使得算术更具普遍性与概括性.因此，数与形成为两个相对独立的数学分支发展起来.但二者又是互相联系的，形的大小要靠数来度之，而数的多少要靠形来表之，二者又是通过“数”联系起来.恩格斯在《自然辩证法》中提到“数是我们所知道的最纯粹的量的规定”，因此数与形最终都统一于量中.在中学数学中常用的是通过方程来研究几何图形或曲线，或者一些简单的代数问题通过坐标轴来寻求其几何意义，易使师生形成这样的观念，即在解析法中“从代数到几何”从属于“从几何到代数”.此时，人们往往会抓住主要矛盾，专注于培养“从几何到代数”意识，而遇到解题关键是需要从抽象的方程或者不等式中发现其几何意义时却束手无策.正因为数与形是相对独立又是相互统一的，没有谁从属于谁，在解析法的教学中这也正是教师应该把握好的辩证关系，才不会有孰轻孰重之分.

另外，解析法的核心是坐标法，它可将点与数统一于坐标平面内.而点的运动产生了曲线，从而曲线与含有变量的方程也统一于坐标平面内.他们的对立统一性是绝对与相对的辩证统一.坐标系把几何与代数中最简单的两个概念相联系，每一个点都对应着唯一的数，这是其绝对性的统一，但相对于不同的坐标轴，其数又是不同的，这是其相对性的统一.空间中点的运动产生曲线，要想研究曲线性质应从小单位点来考察，则需要一个相對静止的参考物——坐标系.坐标系使得运动的轨迹与规律等变得可描述，最终可由方程来完成这一工作.同样地，坐标轴的选取决定了曲线的方程形式.如此，曲线与方程也是绝对与相对的辩证统一.事实上坐标法虽简单，可其对人类认识和改造世界所起的作用绝不仅仅体现在解决数学题上.在数学领域，坐标法为微积分的研究提供了几何基础，如运用坐标法可直观的研究导数——曲线上一点的切线斜率，定积分——曲边梯形的面积.它不仅为微积分的建立奠定基础，也促进了高等数学的发展，同时为其他科学领域的探索和研究提供了数学工具.如运用坐标法开普勒在弟谷·布拉赫收集的资料基础上，通过对火星运动的研究和计算，发现天体运动规律并总结出了开普勒三大定律.因而，解析法的获得可以给人们以认识世界和改造世界的方法论启示.

3.2有助于数学核心素养的发展

数学核心素养是指学生应具备的、适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力.数学教育心理学认为，能力与知识是统一的，培养数学核心素养的本源在于知识，陈述性知识为核心素养生成之基石，程序性知识为中介[1].故，数学核心素养的发展离不开知识经验的积累.解析法是几何与代数的结合，而要想掌握此法就必须掌握几何与代数的相关知识，才可让知识为我所用，以形成能力.解析法将“数”的抽象与“形”的直观相融合，再利用数学逻辑推理来解决问题，在此过程中，经历知识的同化和顺应，即可获得陈述性知识，通过问题的解决，长期反复的历经知识的理解、迁移和创新，最终获得关键数学能力，即通过长期不断地进行解析法的训练，可获得以下关键数学能力：数学抽象、数学运算、逻辑推理、几何直观与问题解决能力.而初中阶段，尤其初中二年级学生主要发展数学运算能力和空间想象能力.

运算能力是数学学习中一项重要的能力，是学生根据一定的法则和运算律正确地进行运算的能力，是初中生需要发展的关键数学能力.另外运算能力，不仅表现为具有正确迅速的计算和推理能力，同时需要学生具有较强观察和分析能力以及能迅速抓住问题的本质，综合运用数学知识以及数学思想方法的能力.解析法通常运用数形结合的方法，借助形的直观发现数的本质或借助数的抽象来表达形的特征，数与形的融合易帮助学生观察和分析问题，抓住关键从而解决问题.而这些方法中不可避免的要进行数的运算以及推理，同时涉及代数与几何的相关知识，以提升知识综合运用的能力.此外，运算能力的提高也要重平时的积累，因为数学素养与能力的提升从来没有“立竿见影”的捷径.因而在教学中，教师应当认识到运算能力循序渐进、分阶段渗透和培养的重要性.而教材的编排也抓住了学生发展运算能力的关键期，学生经历长期的解析思想的渗透和培养，其计算能力、推理能力以及观察分析问题和综合运用知识的能力也将得到提高，最终其运算能力也能得到相应的发展.

3.3有助于计算思维的养成

计算思维并不是指计算机的思维，而是人头脑中的一种数学思维.在数学教育中，计算思维是指从计算的角度出发思考问题，将问题数量化，化归或递归为可计算的问题，用数据来进行推理[2].相较于可外显的运算能力，计算思维是一种内在的思维过程，是认识事物的一种方式和手段.计算思维，不止关注计算，更关注的是计算之上的算理和算法.通常认为计算思维是一种过程思维，过程思维需要从两方面思考问题，一是程序，二是算法.从教育层面来讲，我们更期待学生具有算法化的眼光.算法化要求学生具有缜密的思考方式，具有符合逻辑的、有序的将复杂问题逐级简化的能力[3].算法化是计算的核心，为了保证计算的合理性和有效性，同时应该认识到算理的重要性.算理是算法的思维本质，算法是算理的外在表达的优化，学生在明白算理后可避免只知其表不知其里的解题方法的生搬硬套.若用算理与算法兼顾的观点分析中学数学教学内容，可获得丰富的算法和深刻的算理，可加深教师对教学内容内涵的把握，体会数学的本质，获得教学的高观点，可更好的进行计算的教学以及学生的运算能力与计算思维的培养.其中，解析法提供了非严格的程序化解题步骤，为看似复杂无序的难题寻找到了程序化的思维模式，而代数与几何知识的融合克服各自的缺点成为解题可依靠的规则和手段.由此，解析法的学习过程也是算法化与算理化的渗透，从而有助于提升学生的计算思维.从算法化和算理化的视角出发，来深度分析教材，进行教学设计，使学生理解知识间的关联性以及可接受性，完善知识结构，真正明白数学概念、思想与方法等对数学的意义，从而理解算理并获得算法以及算法的创新与优化意识，对计算思维的养成是有极大帮助的.

参考文献

[1]喻平.从PME视角看数学核心素养及其培养[J].教育研究与评论：中学教育教学，2017（2）：8-12.

[2]吴洁莹，徐章韬.面向未来的核心素养：从运算能力到计算思维[J].湖南教育A，2017（5）.

[3]徐章韬，陈矛.算法化视角下中学数学教学内容的知识分析[J].数学教育学报，2013，22（2）.endprint