2015-2017年高考数学全国卷导数命题的几个视角*
2018-01-03四川内江师范学院数学与信息科学学院641100
四川内江师范学院数学与信息科学学院 (641100)
董万平 余小芬 袁小燕
2015-2017年高考数学全国卷导数命题的几个视角*
四川内江师范学院数学与信息科学学院 (641100)
董万平 余小芬 袁小燕
导数是微积分的初步知识，也是微分学的重要内容，同时还是刻画函数和曲线性态的有力工具.近年高考中，导数考点深受命题者青睐，题型覆盖客观题和解答题，内容上体现了与函数、三角函数、数列、向量、不等式、概率等知识的交汇融合，蕴含了数形结合、分类与整合、化归与转化、函数与方程等基本数学思想方法.充分考查学生的抽象思维能力，逻辑推理能力，运算求解能力.本文以近三年高考数学全国卷中导数试题为例，分析导数考查的几个视角.
视角一 利用导数的定义求极限
例1 (2017年全国卷Ⅱ，文21)函数f(x)=(1-x2)ex.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围.
视角二 利用导数的几何意义求解曲线的切线问题
导数的几何意义体现了导数与曲线的联系，蕴含着“以直代曲”的重要数学思想.利用导数的几何意义求解曲线的切线问题是导数的一种最基本应用.该类问题主要考查学生对导数几何意义的理解及求导公式、求导法则的应用，高考中常以选择、填空题形式出现，有时也渗透在解答题中，难度中等.
例2 (2015年全国卷I，文14)已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,7)，则a=________.
解:f′(x)=3ax2+1，则f(x)在点(1,f(1))的切线斜率为k=f′(1)=3a+1，又f(1)=a+2，故切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1)，代入(2,7)，解得a=1.
点评:利用导数的几何意义求解曲线的切线问题时，一定要把握“切点坐标”这一关键要素.同时要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”的区别，进而才能准确表达切线斜率.近三年全国卷类似考题还有：2017年全国卷Ⅰ文科14题，2016年全国卷Ⅲ文科16题、理科15题，2016年全国卷Ⅱ理科16题，2015年全国卷I理科12题，2015年全国卷Ⅱ文科16题.
视角三 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
导数是研究函数单调性、求解极值与最值、刻画函数图像变化趋势的重要工具.近年高考中以此为背景的试题屡见不鲜.
例3 (2017年全国卷Ⅱ，理11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点，则f(x)的极小值为( ).
A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1
解:f′(x)=ex-1[x2+(2+a)x+a-1].由x=-2为f(x)的极值点得f′(-2)=0，解得a=-1.故f′(x)=ex-1(x2+x-2)，令f′(x)=0，解得x1=-2或x2=1.容易分析f(x)的极小值为f(1)=-1.故选A.
点评:本题考查求解可导函数极值的一般步骤，难度中等，重点强调对极值概念的理解及求导公式、法则的正确使用.理解极值概念时，应把握极值反映的是函数的局部最值特征.函数在点x0处取得的极值未必是函数的最值，要区分极值与最值的“局部”与“整体”关系.其次，对可导函数f(x)而言，f′(x0)=0只是f(x)在点x0处取极值的必要条件，而非充要条件.
例4 (2015年全国卷Ⅱ，文21)已知f(x)=lnx+a(1-x).
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
令g(a)=lna+a-1，则g(a)在(0,+∞)是增函数，且g(1)=0.于是当0
视角四 利用导数研究函数的零点问题
利用导数求解函数零点、估算零点范围，判断零点个数以及已知函数零点求参数范围，是导数综合运用的体现，也是近年高考的热点问题.该类问题常涉及对函数零点、方程根、两函数图像交点的横坐标之间关系的理解，以及对零点存在性定理的灵活应用，渗透着分类讨论、化归与转化、数形结合等基本思想.
例5 (2017年全国卷Ⅰ，理21)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.
解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,+∞).当a≤0，f(x)在(-∞,+∞)单调递减.当a>0，f(x)在(-∞,-lna)单调递减，在(-lna,+∞)单调递增.
点评:本题考查利用导数求解函数的单调性、最值及零点的综合问题，考查学生对问题的分析、转化及运算能力.(Ⅱ)利用(Ⅰ)问单调性结论作为零点问题分类讨论的依据，并结合零点存在性定理将函数零点问题转化为函数最值与0的大小问题，进而求解a的范围.问题的解决中对不等式放缩技巧要求较高.当然解决(Ⅱ)问还可利用分离参数法，或转化为两函数图像的交点问题进行处理，考生可根据知识把握情况，灵活选取.近三年全国卷类似考题还有：2017年全国卷Ⅲ文科12题、2016年全国卷Ⅰ理科21题.
视角五 利用导数证明不等式
不等式的证明问题是高中数学的难点，解决问题所涉及的方法多样，技巧性灵活，学生不易把握.通过导数研究函数的单调性，再由单调性证明不等式，这种解决问题的思路清晰，操作性强，易于掌握，同时也体现了函数与导数、不等式的综合应用.
例6 (2017年全国卷Ⅲ，理21)已知函数f(x)=x-1-alnx.
(Ⅰ)若f(x)≥0，求a的值
解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)问，当x∈(1,+∞)时，x-1-lnx>0，即lnx 点评:本题是一个有递进关系的综合问题，通过导数解决(Ⅰ)问中不等式的恒成立问题，求得a值，进而获得解决(Ⅱ)问的“隐性条件”lnx 利用导数研究函数存在性问题或恒成立问题是历年高考考查的难点、热点.主要考查导数与函数、方程、不等式的综合应用. 例7 (2017年全国卷Ⅱ理科，21)已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0. (Ⅰ)求a. (Ⅱ)证明：存在唯一的极大值点x0，且e-2 解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞).f(x)≥0等价于a(x-1)≥lnx. 综上，对任意x∈(0,+∞)，f(x)≥0成立，则a=1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x2-x-xlnx，f′(x)=2x-2-lnx. 当然，导数的考查视角绝不止上述总结，限于篇幅，本文仅以全国卷试题为例，权作抛砖引玉，有兴趣的读者可结合地方省份高考试题作进一步研究，比如利用导数解决函数图像交点问题、处理极值偏移点问题等. 四川省"西部卓越中学数学教师协同培养计划"项目(ZY16001).余小芬系本文通讯作者.
视角六 利用导数研究存在性、恒成立问题
