经济分析中导数的应用研究

靳一千

摘 要：运用数学方法分析经济问题已经成为一种常态，尤其是数学知识中高等数学的使用更为经济经验分析提供了途径，运用导数的知识进行弹性分析就是很恰当的使用例子。

关键词：经济分析；导数；应用研究

前言

经济学家早在很早之前就开始将数学知识应用到分析经济学问题中。Z 古希腊时期，历史学家色诺芬所提出的财富增长思想中其实就已经使用了数学知识。随着时间的流逝，数学知识在经济学中应用的范围也越来越广，尤其是近代以来，不再紧紧停留在理论层面的探讨，通过运用数学知识对问题进行量化分析，使经济学称为一门越来越严谨的科学。在众多经典的经济学理论中，像是纳什均衡或者是期权定价公式都是运用数学知识来进行表示的。在市场经济更加发展的今天，把数学知识作为量化分析工具来使用是情况越来越多，很多经济学将这看作是经济学进步的一个标志，因为这使经济学变得更加严谨、准确。其中运用导数知识对经济问题进行求解在经济学中占有不小的比重，导数工具可以为面临经济难题的企业管理者提供一定的决策建议。本文主要分析导数工具在经济学中的运用，主要关注弹性、边际函数以及极值求解三个方面。

1.经济分析中导数的应用

1.1导数知识在市场弹性价格需求分析中的应用

在分析经济环节中的弹性价格方面可以使用导数知识来量化。我们假设在市场中，对一种商品的需求量为q，定义商品的价格为p。为了得到商品的需求弹性价格，我们可以对弹性函数进行求导，可以得到需求弹性价格公式为Ep=p/q（p）？q'（p）。通过以上公式，我们可以发现商品的价格每增加1%，商品相对应的市场需求量会相应地减少|Ep|%。运用导数知识来量化分析一种商品的市场需求弹性，我们可以对商品价格、企业需求甚至是企业的收益产生的影响有一个大致明确的范围，是会增加还是减少，因为商品价格的上升会导致需求数量的下降，综合来看对企业总收益的影响是不确定的。利用企业对这种商品统计的数据，基于导数知识的应用，可以为这种商品制定恰当的营销策略。

例1：某产品的需求曲线为Q=150-10p，当价格p=5时，求产品的需求价格弹性，并阐述如何调整价格，才能提高总收益。

解：基于商品需求弹性价格公式：E= Q'（p）*p/q，需求曲线为Q=150-10p，价格p=5。商品需求弹性价格=-10p/（150-10p）=-0.5|E|<1。可以得出该产品为缺乏弹性的商品，想要增加总收益就必须使商品价格上升。

并不是所有的弹性公式都是一致的，经济函数不同弹性计算也是不同的。像是需求价格弹性、供给弹性、收益弹性这些弹性的公式都不是一样的，我们在使用时应该明确这一点。如果企业政策制定者在分析商品价格收益时能合理的使用商品的弹性这一经济学知识，有利于企业制定正确合理的策略，增加企业收益与商品的市场占有率。

1.2導数在经济边际问题中的应用

导数知识除了可以应用在市场弹性价格需求分析方面，还可以用来分析边际问题，确定商品的边际成本、边际收益和边际利润。举例来说，在边际利润的计算中，定义商品的总利润为L（Q）=R（Q）-C（Q），其中R（Q）表示的是总收益，C（Q）表示的是总成本，商品的平均利润为L（Q）/Q，边际利润用导数的知识求解为L'（Q）=dL（Q）/d Q。

1.3导数在最优决策极值求解中的应用

除以上两方面的应用外，导数还可以应用在求解最优的决策极值方面。最优决策极值代表的是数学中我们所指的函数的最大值和最小值。通过高等数学的学习，我们知道极值的求解过程：我们首先对函数求一阶导数，得到函数的驻点和不可导点。根据这两个点确定对应的区间范围以及在这个范围内数值的符号，得到函数的最大值和最小值。将以上数学原理应用到商品生产中，可以得到商品利润最大化所对应的生产值和最大化利润的数值。

例2：某公司生产销售电子产品，一天的总成本为C元，其中固定成本为100元，每多生产一件商品，成本上升5元，该产品的需求函数为q=100-5p，其中q指生产量，p指产品价格，当产品的价格定为多少时，企业每天的利润值可以达到最大化，而相应的生产量为多少？

解：根据最有决策极值的求解思路，求解过程如下：

总成本函数C=100+5q=200+5（100-5p）=700-25p，总收益函数R=pq=p（100-5p）=100p-5p2，那么边际成本MC=-25，MR=100-10p，根据利润最大化条件MC=MR，得到p=12.5，此外由于（MR）'=-10<（MC）'=0，所以，当产品定价为12.5元时，每天的利润值达到最大化，相应的生产量为37.5件。

2.研究不足之处与展望

随着经济问题的研究越来越广泛，导数在经济学中的使用范围也越来越广。但是我们应该注意如何将生活中的经济学问题转化成数学语言进行分析。数学是严谨的，为了得到最理想的结果，会进行一系列的假设。因此我们在进行量化分析时也要进行严密合理的假设，使分析环境尽力达到理想化。本文主要是对经济学问题中导数知识的应用从三个方面进行分析，并列出实例帮助理解。但是还有很多知识没有列出，并且导数也并不局限在这三个方面使用。作为经济分析中一个很常见的工具，导数可以为企业管理者制定策略提供建议，帮助企业达到利润最大化。正如前面所说，导数的使用可以为我们制定生产策略提供指导，但是我们在使用时并不能简单的拿来套用公式，更应该注意使用的条件是否满足。要想完美的解决经济学中存在的复杂问题，需要我们在掌握基本的数学知识基础上，不断学习不断思考。

3.总结

运用高等数学知识作为分析经济问题的量化工具，促进了经济学的进一步发展。数学工具使得我们在分析问题过程中更加严谨，针对分析结果提出的政策建议更有针对性，有利于政策建议的制定者采纳实施。这也使得经济学成为一门可以量化的学科，摆脱了过去只能依靠理论经验来探讨问题的状况。同时，经济问题的解决也为高等数学的实践应用提供实例，高等数学研究的不断深入也促进了经济理论不断发展。在经济局势更加复杂的今天，经济理论的发展有利于我们更好的制定相关的政策来解决问题。

参考文献：

[1]张占美，苑春明，刘辉.导数和积分在经济管理中的应用[J].商场现代化，2010（21）：31-31.

[2]苏立标.导数应用中的另类"看点"，同样的精彩[J].中学数学，2009（1）：32-33.

[3]田雄飞.关于导数应用的研究[J].太原师范学院学报（自然科学版），2000（3）：32-33.

[4]王淑茂，吴永清.例谈导数应用中的几个误区[J].数学教学研究，2006（1）：11-12.