例谈椭圆最值的几种求法

谢荣军

摘 要：椭圆是解析幾何中的主干知识，在高考中具有重要地位，常常作为高考的压轴题出现。而求椭圆的最值是其中一类题，要求学生能全面掌握椭圆的定义及性质，充分运用所学的各种知识来解题。

关键词：椭圆；最值；求法

圆锥曲线是解析几何的重点内容，是高中数学的一个重点难点，也是历年高考命题的一个热点.由于圆锥曲线问题涉及函数、不等式、三角、向量、数列等相关知识，所以对学生各方面能力的要求很高.下面是笔者对其中之一的椭圆最值的求法的一些尝试，希望对学生学习此内容有所帮助.

一、利用椭圆定义

评注：根据椭圆的定义——到两个焦点的距离之和为定值，我们可以灵活地将椭圆上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离，以便于解决问题：如用来求椭圆中的有关最值.

二、利用三角代换求解

评注：求椭圆最值问题，三角代换是一种常用的方法，而椭圆的参数方程，实质上就是三角代换，它使二元x，y转换为一元的θ，将代数问题转换为三角问题，使问题化繁为简.

三、利用配方法求解

评注：利用基本不等式时要注意“一正二定三相等”，对于两个正数来说，积定和有最小值，和定积有最大值.

从上面可以看出：解决椭圆中的最值问题，要注意联系椭圆的定义和几何性质，结合换元思想或引入参数，将问题转化为一定的函数关系或不等式问题进行解决.在充分考虑函数的定义域、不等式的最值条件的前提下，应用函数的单调性、基本不等式等进行讨论，从而达到求解椭圆中的最值问题.

参考文献

[1]许沐英.例谈椭圆最值的求解策略[J].高中数学教与学，2009（3）.

[2]任志鸿.高中新教材优秀教案高二数学[M].南方出版社，2007.