初中几何教学中的一题多变

马春燕

【摘要】初一数学的几何学习，是学生们学习的难中之最，然而初一几何又是整个初中几何的基础和入门，是几何教学的关键和重点.作为教师，应尽可能地创造条件，让学生把每一道几何题目的基本构架“理”清楚，也就是把几何图形的本质“看”透彻，达到解一题通一类的效果.在实践教学中，我经常采用一题多变，通过一题多变，培养学生的看图能力和画图技能，便于学生们在实战解题中不断总结，时刻培养学生的解题思维和创新思维.

【关键词】一题多变；兴趣；创新

学生从小学跨入初中，存在很多的不适应.初一的学生在学习生活中会感到茫然和无措，尤其是初一数学的几何学习，更是学生们学习的难中之最.由于图形变化多端，解题方法多种多样，有的学生拿到题目根本就无从下手.究之缘由，还是对解决几何问题的思维没有形成，方法没有掌握.然而初一几何是整个初中几何的基础和入门，是几何教学的关键和重点，作为教师，应尽可能地创造条件，让学生把每一道几何题目的基本构架“理”清楚，也就是把几何图形的本质“看”透彻.在实践教学中，我经常采用一题多变，效果甚佳，既培养了学生的解题兴趣，也能激发学生的创新思维.

一、一题多变，培养学生的看图能力

所谓看图，是指观察、分析和认识几何图形.通过看图，不仅能找到图形中的已知条件和证明内容，还要知晓几何图形的内在构成和联系，从而达到解一题通一类的效果.这样充分满足了学生的成就感，激发了学生的解题兴趣，从而迸发出创新思维.

（一）在初一数学第七章平面图形的认识（二）中，遇到这样一道题目：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由.

给出题目后，我要求学生自己先思考，有完整解题思路的学生到讲台上来讲解，当然，有不同想法的也可以上讲台表达自己观点.这样做有利于满足学生的表现欲望，激发学生的创新思维.2分钟后，嘉惠同学很自信地走到讲台，给同学们讲解自己的想法.我将她的思路总结一下分3部分，第一步证∠1+∠3=90°，第二部分证∠1+∠AEB=90°，从而∠3=∠AEB，第三部分就是通过∠3=∠AEB，证明BE∥DF.刚说完，佳龙同学立即走上讲台，表达自己的不同观点，他说“可以证同位角∠2=∠DFC，得BE∥DF”.第三名同学笑着来到讲台，他告诉大家，他想到用同旁内角互补来证明两直线平行，那就必须通过第二名同学的∠2=∠DFC，由∠DFC+∠DFB=180°，得∠2+∠DFB=180°，得BE∥DF.有点烦琐了.

对于这个问题，半数学生都是有思路、有把握的，分析完整后，接着就根据自己的想法把证明写下来.规范书写很重要，所以我在黑板上板书证明过程.接下来就给出此题的变式练习.

（二）把题目中的“∠A=∠C=90°”改成“∠A=∠C”，其余条件不变，试问上述结论还成立吗？为什么？

此题虽与上一题大同小异，既然有异，就不能完全用上述证明过程来证明.在观察学生们比较茫然时，我会提示大家：如果继续用同位角相等得两直线平行，就是要找到∠3=∠AEB，怎么证？需要学生们开动脑筋，积极思考.果不其然，没过一会儿，就有学生举手示意，知道怎么证明了，由∠1+∠3=180°-∠A，∠1+∠AEB=180°-∠A，从而∠3=∠AEB，继续得BE∥DF.这样的变式告诉学生们，当题目的已知条件和图形的结构没有发生本质上的变化时，我们的解题思路就可以续用.

（三）如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，BE∥DF，试说明∠A与∠C又是什么关系？

这道题图形虽然与（二）完全相同，但是把已知条件的一部分与结论互换，这就涉及原命题与逆命题的关系.很多学生会下意识地给出∠A=∠C的结论，可是在证明中却无法合理说明.其实，由平行得∠3=∠AEB，∠2=∠DFC，表示∠A=180°-（∠1+∠3），∠C=180°-（∠1+∠3），最终∠A=∠C.可以看出，这样的证明与原题变化较大，告诫学生，有些看似差不多的问题，其实证明过程却有很大不同，证明思路也不一样，需要学生们对题目认真分析，仔细看图，独立研究，创新思维，不能被束缚在图形当中，要真正做到解一题通一类的效果.

二、一题多变，培养学生的画图能力

所谓画图，就是根据已知条件，独立而正确地画出图形，注意“题”与“图”的对应关系，使所画图形符合题意.要解对一道题目，正确画图是先决条件，然而有更多的学生在画图环节中再遇困难，在近几年的数学中考试卷中，要求考生先画图，再解题的比比皆是.所以，我们要从初一抓起，培养学生的画图能力.

在教学中，下面这道题目是经典，复习课必讲.然而怎么讲，需要教师好好思考.我依然采用一题多变，变的是什么？可以是把3张图形结合一起，可以是把“角平分线”变为“角的n平分线”，而我在课堂上，是将题目的呈现方式改变.

（一）已知：在△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且BO，CO相交于点O，试探索∠BOC与∠A之间的数量关系，并说明理由.

看到图形，学生们欢心雀跃，对此题很有把握，个个跃跃欲试，我找了一名平时较腼腆的学生到讲台上来讲解，声音虽小了点儿，但思路还是很清晰的.他用三角形的内角和来证明，由∠1+∠2=12（180°-∠A），∠BOC=180°-（∠1+∠2），得∠BOC=90°+12∠A.当然，也有学生表示，可以通过作辅助线延长BO，用三角形外角的性质来完成. 由∠BOC=∠BDC+∠2，∠BDC=∠1+∠A，得∠BOC=∠1+∠2+∠A，又因为∠1+∠2=12（180°-∠A），所以∠BOC=90°+12∠A.

学生们非常开心，欢乐地把这道题解决了，满脸洋溢着幸福的笑容，我也在大家的满怀期待中抛出了下一题.

（二）已知：BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的平分线，BO、CO相交于O，试根据已知条件画出图形，并探索∠BOC与∠A之间的数量关系.

大家很轻松地拿起铅笔，在稿纸上画起图来，渐渐地，渐渐地，淅淅声小了，更小了，有的学生开始拂额，有的摸头发，有的拿起橡皮擦拭……我知道他们难住了，提示到：请大家仔细阅读题目条件，根据已知条件画图.慢慢地，有两三名学生画对了，过了一会儿，我又看到几名学生画对了，再等了一会儿，还是有半数学生不会画啊.我请第一个画好的学生上黑板演示，当图形一出，不会画的学生恍然大悟，原来，他们把外角选取不恰当，主要就是外角平分线交不到一块儿去呀，不是让外角平分线的反向延长线相交啊.看来，还是读题不仔细，也是画图没有章法啊.

只要图形画对，证明就很容易啦，可以继续选择三角形的内角和证明，也可以结合外角性质来证明.此时，他们已经有了心理准备.给出第3题.

（三）已知：BD为△ABC的角平分线，CO为△ABC的外角平分线，它与BO的延长线交于点O，试探索∠BOC与∠A的数量关系，并说明理由.

我看到学生们非常谨慎地拿起笔，很小心地画着图，经过上一题的教训，他们对自己的画图几番尝试，好多学生顺利完成，露出欣慰的笑容.画好的学生还会主动帮助周边尚未成功的.然后大家对照图形，解决此题.

在这样的学习中，他们失败过，但更多的是成功，是那每一次完美的解題带给他们的自信，是那每一次异于他人的解题思路带给他们的自豪，是那每一次由失败转为成功的无限喜悦.从而激发了学生对学习数学的更多热情，激发了他们的创新思维.

在几何学习的教与学中，教师精心选题，善于激发学生，通过一题多变，培养学生的看图能力和画图技能，从而形成解决问题的方法.学生积极思考，不断总结，通过一题多变，看到图形的本质结构和画图的方法要点，掌握一类题相似的解题思想，在实战解题中不断总结，不断创新.