例谈格点问题的解题策略

周卫国

摘 要：寻求“格点”问题解法的关键是抓住题目关键词，挖掘出题目所含条件的作用，把非格点转化为格点问题处理，合理利用题目已知条件，多种知识处理问题。这也是解决数学问题基本方法。

关键词：抓住题目关键词;化归思想;合理处理已知条件

中图分类号：G633.63          文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2018）20-068-2

“格点”问题是初中数学中一类重要题型，很多数学问题都可利用格点问题出现。近几年中考中，常常出现以“格点”为背景的数学问题，但学生对格点问题往往掌握的不好，得分率不高。如何利用“格点”，并在这类问题中，理清头绪，解决问题，这需要教师教学时提炼解题策略，引导学生学会分析问题，利用“格点”解决问题。下面本文从三个方面来谈谈“格点”问题的解题策略：

策略一、寻找问题突破口，抓住题目关键词

例1 （2017泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）。若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为    。

[解题过程] 本题的关键词：外心。外心是三角形外接圆的圆心，外心是三角形三条中垂线的交点。本题的解决应充分利用外心的性质：点P在线段AB的中垂线上。解决方法：以点P为圆心，AP长为半径画圆，圆P在第一象限内的格点即为所求點C，答案为：（1，4）（6，5）（7，4）。

[解后反思] 本题的解题策略在于如何用好“外心”，而点C的横坐标、纵坐标均为整数即为“格点”。可学生在解答时，往往缺乏分析思路，分析不了外心的作用，同时学生即使会分析也会出现漏解的情况。因此，培养学生分析问题的能力，比解决一道题目更重要：如何用好外心是解决本题的关键。

【变式练习】

（17盐城）如图，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC绕某点旋转到△A′B′C′的位置，则点B运动的最短路径长为   。

略解：在本题的教学中，重点理解好旋转的性质：对应点的连线的中垂线的交点即为旋转中心O，点B运动的最短路径为以点O为旋转中心，OB为半径，逆时针旋转90°，lBB′=90π13180=13π2。

反思：本题的解题策略在于旋转前后的图形有何联系。由旋转前后两个图形，寻找旋转中心，只要找两组对应点连线的中垂线交点即可。利用格线，构造中垂线a，b，交点即为旋转中心。教学时，只要紧紧抓住旋转中心进行教学即可。

策略二、化归思想，把非格点角度转化为“格点”角度

例2 如图，在2×6的网格中，AD与BC相交于点E，则sin∠DEC=（  ）

A.12    B.22    C.32    D.2/3

师：要求sin∠DEC，你们有什么方法吗？

生1：转化，把∠DEC转化到“格点角”去，即（如图）连接AF，过A作AG⊥AD交AD于点G，则∠DEC=∠GAF，利用面积公式算出FG=102，且AF=5，由此可得sin∠DEC=22，答案选B;

生2：还有另一种转化方法：过点C作AD的平行线，交格点于F，连接BF，则∠DEC=∠BCF，易证△BCF为直角三角形，则sin∠DEC=22，答案选B。

师：很好，两位同学的方法有异曲同工之妙，都把一个“非格点角”转化为“格点角”，并把它们摆在一个直角三角形中，从而利用三角函数解决问题。这都体现了数学中的“化归思想”，你们的思维很有创造性。

点评：在本题的解答中，解题策略是如何转化“非格点角”，在分析这道问题时，老师要利用题目的已知条件，所求角度的正弦值方法有两种：要么构造直角三角形，求解三角函数值，在本题中显然不可行，因为∠DEC不在格点上，构造了直角三角形也无法计算边长;要么转化角度，把∠DEC转化为“格点角”，再构造直角三角形，求解∠DEC的正弦值。有了这一解题策略，整个问题也就不难处理了。

策略三、合理处理题目条件，用多个知识结合解决问题

例3 在如图所示的正方形方格纸中，每个小四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于M，则AM∶BM=______ 。

师：本题有一定的难度，请大家认真思考后解决问题？

（学生埋头解答，教师教室巡视）

生1：老师，可用相似解决问题：先在图中X型相似中，利用AMBN=ANBC;再利用A型相似，NECF=DEDF=13，从而可得ANBC=512，∴AM∶BM=5∶12。

生2：老师，我还有一种方法：建系法，即建立平面直角坐标系，通过求直线交点的方法求解。解法如下：

建立如图所示平面直角坐标系，点A（0，2），点B（5，0），点C（1，0），点D（2，3）。直线AB：y=-25x+2，直线CD：y=3x-3，联立方程：y=-25x+2y=3x-3，解得点M（1725，2417），利用相似三角形对应高的比等于相似比求得AM∶BM=5∶12。

师：两位同学的解法，非常具有想象力，我们对这两位同学的解法表示祝贺（教室里响起热烈的掌声）。

点评：本题有一定的难度，难点有两个：第一点M非“格点”，第二AM∶BM如何求。在破解第一个难点时，这道题目不需转化，它与本文的例2解法有着本质区别。第二个难点为转化AM∶BM，如何转化有两种思路：方法一利用两次相似求解;方法二构造平面直角坐标系，转化为直线解析式求解。这也是解好此类问题的解题策略：当所求结果无法转化时，可合理利用多个数学知识处理问题。

“格点”问题是初中数学的一种重要题型，要解好这类问题，需要在平时教学中加强此类题目的训练，在训练中提升学生能力，在解题中找到解决问题的方法。同时教师在教学中，应注意收集问题，把问题分类并总结。只有这样，才能真正让学生举一反三，只有掌握了方法，才真正把握了解决问题的“钥匙”。