无穷级数求和方法解析

苏玉��

摘 要：本文主要针对无穷级数的求和，分析各类方法，针对不同样式的数项级数，采用不同的准确方法，取得事半功倍的效果。

关键词：无穷级数；收敛；求和

1. 拆项法求和

【例1】 求级数12+13+14+16+18+112+…的和。

解：Sn=12+14+18+…+1212n-1+13+16+112+…+1312n-1

2. 逐项积分求和

【例2】 计算

3. 利用傅里叶级数求和

【例3】 求级数∑

SymboleB@ n=11n2。

解：構造傅里叶函数f（x）=x2，其中x∈[0，π]，作偶延拓得：g（x）=x2，-π≤x≤π。

由此可知傅里叶系数为：bn=0，其中n=1，2，3，…

a0=2π∫π0x2dx=23π2，

an=2π∫π0x2cos（nx）dx=2nπx2sin（nx）π0-4nπ∫π40xsin（nx）dx=4n2πxcos（nx）π0-4n2π∫π0cos（nx）dx=（-1）n4n2（其中n=1，2，3，…）。

由狄利克雷收敛条件可知：f（x）=π23+4∑

4. 泰勒级数求和

【例4】 求级数∑

5. 微分方程法求和

【例5】 求级数∑

6. 定义法求和（略）

7. 错位相减法求和（略）

8. 裂项法求和（略）

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析（第四版，下册）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]程海来.一些无穷级数的求和[J].大学数学，2013，（3）：112-114.

[3]徐东燕，孟晓刚.Matlab函数库查询词典[M].北京：中国铁道出版社，2005.

[4]同济大学数学系.高等数学（下册）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[5]郑琳琳.级数求和的若干方法[J].知识文库，2016，（1）：43.