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例谈几何习题教学中的再创造策略

2017-12-29施彬

试题与研究·教学论坛 2017年30期
关键词:再创造习题教学策略

施彬

摘 要:针对习题教学杂、乱现象,通过“再创造知识的自然生长过程,形成知识系统;再创造思路的自然形成过程,注重方法迁移两方面谈对再创造策略的一点认识,从而培养学生自主探究的能力。

关键词:习题教学;再创造;策略

荷兰数学教育家符莱登塔尔认为,数学教学是“有指导的再创造”。本文试图通过举例来谈谈自己对再创造策略的一点认识。重点不是探究怎样解某个题,而是研究在今后几何习题教学中如何以该策略去指导学生。

一、再创造知识的自然生长过程,形成知识系统

(一)习题呈现及解答

(2014·绍兴)用直尺和圆规作△ABC,使BC=a,AC=b,∠B=35°,若这样的三角形只能作一个,则a,b间满足的关系式是___________________。

解:如图所示:

若这样的三角形只能作一个,则a,b间满足的关系式是:

①当CA⊥BD时,即sin35°=;

②当b≥a时。故答案为:sin35°=或b≥a。

(二)习题的自然生长过程再创造

1.生长起点:SSA不能判定两个三角形全等

例1 《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级下册1.6作三角形作业题C组第5题:已知∠β和线段a,b(如图2)。用尺规作△ABC,使∠B=∠β,BC=a,AC=b。这样的三角形能做几个?

评析:利用尺规作图可得,这样的三角形能作两个。由此说明两边和其中一边所对的角不能确定一个三角形,也就证明SSA不能确定两个三角形全等。

2.生长点一:舍去条件AC=b,探究结论

例2 已知∠β和线段a(如图3)。用尺规作△ABC,使∠B=∠β,BC=a,AC=b。这样的三角形能做几个?并确定相应a,b间满足的关系式?

评析:变式1将原型题中规定的AC长度b这一条件舍去,即b的长度是不确定的。此时需根据b的长度为分类标准进行讨论,由此我们发现上述中考题(2014·绍兴)考查的是变式1的情况(Ⅰ)

解:(Ⅰ)sinB=或b≥a时,这样的三角形能作一个;

(Ⅱ)当asinB

3.生长点二:舍去条件AC=b,∠B=∠β,探究结论

例3 用尺规作△ABC,使∠B=∠β,BC=a,AC=b。这样的三角形能做几个?并确定相应a,b间满足的关系式.

评析:从例1到例3是再创造知识的自然生长过程,可发现“角的大小、a,b间满足的关系式、能作出的三角形个数”这三者之间的联系与规律,形成了关于两边与一边对角构成的三角形个数的知识系统。

二、再创造思路的自然形成过程,注重方法迁移

(一)习题呈现与解答

例4 (2014·宁波)课本的作业题中有这样一道题:把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀,分成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形,你能办到吗?请画示意图说明剪法。

定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线。

(1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数;(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种)

解:如图2作图,

(2)△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分线,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD=BD,DE=CE,设∠C=x°,试画出示意图,并求出x所有可能的值;

解:如图3①、②作△ABC。①当AD=AE时,∵2x+x=30+30,∴x=20;

②当AD=DE时,∵30+30+2x+x=180,∴x=40;③当AE=DE时,x不存在。

(3)如图3,△ABC中,AC=2,BC=3,∠C=2∠B,请画出△ABC的三分线,并求出三分线的长。

解:如图4,CD、AE就是所求的三分线。

设∠B=a,则∠DCB=∠DCA=∠EAC=a,∠ADE=∠AED=2a,此时△AEC∽△BDC,△ACD∽△ABC,设AE=AD=x,BD=CD=y,

∵△AEC∽△BDC,∴x∶y=2∶3,

∵△ACD∽△ABC,∴2∶x=(x+y)∶2,

联立得方程组得x∶y=2∶32x=(x+y)∶2得x=y=,即三分线长分别是和。

(二)思路自然形成过程的再创造

1.你能模仿图1的三分线画法完成第(1)吗?

在原型题的基础上,第(1)题确定的是两个条件,其中条件②45°的顶角也为特殊角,学生很容易想到从等腰直角三角形入手去画三分线,如图5所示:

2.依据图1中“三分线”定义,试画出图3中示意图,并求∠C度数。

评析:让学生通过画图发现第三个等腰三角形的不确定性,以腰作为分类标准去展开讨论,再利用方程思想计算角度问题。实质考查“三分线”的概念。

3.图1与图4中条件有相同点吗?由此你能想到图4的三分线吗?设图1中AC=2,BC=3,求出三分线长?这对求图4三分线有何启发?

变式3确定的是两内角之比为1∶2,首先要求画出三分线?并增加条件AC=2,BC=3,求三分线的长?此问蕴含着二点方法的迁移,如图6所示:

方法迁移一:从图1到图3是从特殊到一般的过程。启示是:当三角形内两内角之比为1:2时,作三分线首先考虑的是那条两倍角的角平分线,再过点A作第二条三分线,将三角形ACD划分成两个等腰三角形,通过尝试我们发现这种作法扩展到一般情形也是适用的。

方法迁移二:求三分线长度的方法的迁移。可设图1中AC=2,BC=3,利用等腰三角形性质及△ABC∽△ACD,很容易求出图1中AE和CD的长度。图4的不同之处在于AC≠CD,因此这里要设两个未知数AE=x,CD=y,需建立联立方程,此时,仍可用△ABC∽△ACD,或增加△AEC∽△BDC建立方程。因此,从求三分线长度的方法来说,从特殊扩展到一般情形也是适用的。

它山之石,可以攻玉。笔者认为,在几何习题教学中利用上述再创造策略,便能从茫茫题海中挖掘一些精彩题目的丰富内涵。培养自主探究的数学精神。

参考文獻:

1.浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》(七年级).

2.教育部《数学课程标准(实验稿)》,北师大出版社,2012年1月第1版.

(作者单位:浙江省良渚一中)

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