曲线公切线的一个充要条件与应用

娄乐乐

摘 要：在高中数学中，一般未说，如果直线l切曲线y=f（x）和y=g（x）分别于点P（x1，y1，Q（x2，y2），则l有两种表示方法：y-f（x1）=f ′（x1）（x-x1）和y-g（x2）=g′（x2）（x-x2），即它们表示同一条直线，展开比较得到方程组f ′（x1）=g′（x2）f（x1）-x1 f ′（x1）=g（x2）-x2g′（x2）。这就是直线l为曲线y=f（x）和y=g（x）公切线的一个充要条件。用此充要条件来解决公切线问题，往往得心应手，简单快捷。

关键词：数学，充分条件，必要条件

一、公切线方程

例1 求抛物线y=x2+ax与抛物线y=x2+bx（b≠a）的公切线方程。

解析：设公切线l切抛物线y=x2+ax于P1（x1，y1），切抛物线y=x2+bx于P2（x2，y2），由公切线的充要条件得，2x1+a=2x2+bx21+ax1-x1（2x1+a）=x22+bx2-x2（2x2+b），即x1-x2=x1=±x2。

但当x1=x2时，b=a，与题设矛盾，∴x1=-x2。解得，x1=，进而2x1+a=。于是公切线l的方程为y- f（x1）=f ′（x1）（x-x1），即y=x-。

二、函数关系

例2 已知定义在正实数集上的函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a21nx+b，其中a>0.设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，试用a表示b。

解析：设y=f（x）与y=g（x）（x>0）在公共点（x0，y0）处的切线相同。

f ′（x）=x+2a，g′（x）=。由公切线的充要条件得，=x0+2a，-x20=-3a2+3a21nx0+b。

由x0+2a=得，x0=a或x0=-3a（舍去）。因此用a表示b是b=a2-3a21na。

三、字母范围

例3 设函数f（x）=ex的反函数为g（x），点P（x1，y1），Q（x2，y2）分别为函数f（x）的图象C1和g（x）的图象C2上的两个动点，过P、Q的直线为l，当l为曲线C1、C2的公切线时，求x1的取值范围。

解析：f（x）=ex，f ′（x）=ex；g（x）=lnx，g′（x）=。切点是。

由公切线的充要条件得，ex1=ex1（1-x1）=lnx2-1，解得x2=e-x1，ex1=。

由ex1=>0？圯x1<-1或x1>1。

当x1>1时，ex1>e？圯>e？圯1

四、字母关系

例4 设t≠0，P（t，0）是曲线f（x）=x3+ax与曲线g（x）=bx2+c的一个公共点，在这个公共点处两曲线有相同的切线，试求a，b，c之间的关系。

解析：设过点P（t，0）的公切线为l。f ′（x）=3x2+x，g′（x）=2bx。

由公切线的充要条件得，2t2=2bt-2t3=2c，解得，b=t，c=-t3。

又因為0=t3+at，将t=b，t3=-c代入得，ab-c=0。

由上可见，对于一些用传统方法难以处理的整式曲线、指数曲线、对数曲线，以及它们的复合型曲线的公切线问题，充要条件f ′（x1）=g′（x2）f（x1）-x1f ′（x1）=g（x2）-x2g′（x2）是顺利求解的有效途径，务必掌握。

（作者单位：洛阳理工学院附属中学）