在方格中如何求相似的格点三角形

耿冀平

原题：已知△ABC中，AC=2AB=4，BC=6

（1）如图1，点M为AC的中点，在线段AB上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长

（2）在给定的方格纸中，作出和△ABC相似且面积最大的格点三角形，请你画出其中的一个，并求出它的面积（注：格点三角形是指以小正方形的顶点为顶点的三角形）

分析：（1）注意找到两种对应相似，也就是我们通常所说的“正A”和“反A”型的相似。

（2）这问是个操作且设计性题，在中考中时常会出现。很多学生一时无从下手，这个三角形怎么去确定呢，既要相似，又要面积最大。方格中画格点三角形要通过计算和设计得出的，这就考查了学生的综合能力。

探究1：给定三条线段都能构成格点三角形吗？

如右图，把题目中的△ABC放到方格中，根据题目AC=2==AB=4==，BC=6=，有一个等式6+2=8，4+0=4再结合图形来分析AD=4，BD=8，BC=6，CD=2，CD+BC=BD，AB=，恰好构成如上图的格点三角形，证明了数与形的统一性。那么到底什么样的三条边能构成格点三角形呢？

设AB=，BC=，AC=，当a+b=c且x+y=z时，三边恰好能构成格点三角形（a，b，c，x，y，z均为非负整数，且没有顺序要求）

如右图，我们假设AF=a，BF=x，AB=，BE=b，CE=y，BC=，根据图形得：AD=a+b，CD=x+y，由于a+b=c，x+y=z，则AC=正好构成△ABC。

探究2：如何来确定相似且面积最大的格点三角形。

由相似，我们知道长边对长边，短边对短边，我们先来找最长边。在10×10的方格中，最长的边是它的对角线等于10，把它看成4的对应边，根据相似比==，可得另两边为5和3。10=，5==，3==，7+3=10，9+1=10，正好能构成格点三角形，相似且面积最大的三角形如右图。

探究3：如何来确定相似且面积最小的格点三角形。

找最小的三角形，我们先来找最短边。在10×10的方格中，最短边为1，我们把它看成2的对应边，根据相似比==，得另两边为2和，同理我们检验当最短边取、、2、时都构不成格点三角形；当最短边为，我们把它看成的对应边，根据相似比==，得另两边为2和3，能构成格点三角形，所以和△ABC相似且面积最小的格点三角形的三边为、2和3。如下图。

探究4：除了上面找的2个外，还有没有和△ABC相似的格点三角形呢？

要是按照取面积最小的找法，肯定很麻煩且不可取。我们假设最长边4的对应边为，根据相似比==，得另两边为和。由于=，=，要使、和三边构成格点三角形，则a必须被20整除。当a=20，此时三边为、3和2，就是最小的三角形；当a=40，此时三边为、3和2能构成；当a=60，此时三边为、3和2不能构成（15写不成两个正整数的平方和）；当a=80，此时三边为2、6和4，就是△ABC本身；当a=100，此时三边为10、3和5能构成；当a=120，此时三边为、3和2不能构成（30写不成两个正整数的平方和）；当a=140，此时三边为、3和2不能构成（35写不成两个正整数的平方和）；当a=160，此时三边为2、6和4能构成，但4=在本题方格中画不出来；当a=180，此时三边为3、9和6能构成，但6=在本题方格中画不出来；当a=200，此时三边为5、3和10能构成，就是面积最大的格点三角形。综合上面的分析，我们得出：在10×10的方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形共有5个。其他的2个如下图。

（作者单位：安徽省马鞍山市第八中学）