数形结合思想与二次函数的教学

孙培辉

摘要：数学思想方法是对数学本质的认识，是数学知识的精髓。新课程下注重、加强数学思想方法教学，是培养学生数学素养，形成良好思维品质的关键。而数形结合思想是一种重要的数学思想，是对立统一在数学中的重要体现。由数与形之间的相互借助，互相促进的关系，转化为一种固定的、依赖的、不可分割的关系。应用数形结合的方法可以使一些题目解决起来既简洁又明快，大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟一条重要的途径。

关键词：数形结合思想；一元二次方程；不等式；二次函数；抛物线

著名的数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。”寥寥数语把数形结合说得淋漓尽致。数形结合思想是一种重要的数学思想，是对立统一在数学中的重要体现。数与形有“对立”和“差异”的一面，但同时也有着“同一”和“互化”的一面。引导学生正确树立数形结合思想是中学数学教学的重要环节。就初中教材而言，初一阶段对数轴、绝对值、相反数等知识的学习，是数形结合思想的初步渗透。当然用“图示法”分析解有关应用题也是数与形的结合。初二阶段的“等边对等角”及其逆定理，勾股定理与直角三角形、一次函数等知识的学习进一步使数与形结合起来。而初三阶段，二次函数、反比例函数、锐角三角函数的教学，圆的教学等使数形结合思想有了相当充分的体现，基本上由数与形之间的相互借助，互相促进的关系，转化为一种固定的、依赖的、不可分割的关系。学生学好二次函数这一章，对于以后进一步学习解析几何、三角函数、微积分等学科都有着重要的基础作用。

数形结合思想在二次函数这一章集中体现在函数表达式y=ax2+bx+c（a≠0）与其抛物线图像之间的关系。同时由于二次函数值与数值0的大小比较，使得一元二次方程及不等式与抛物线有机地结合起来。这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简洁明快，而且可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟一条重要的途径。因此在这一部分的教学时要使学生养成一种辩证的思维习惯：在解决二次函数、一元二次方程、方程组、不等式有关“数”的问题时，要立刻想到与它们所对应的“形”是怎样的，借助“形”来解决“数”的问题，反之亦然。现就教材中基本的数与形的对应关系列表如下，仅供参考。

在学生掌握了上述基本的数形对应关系之后，再引导学生解决稍复杂的有关题目就显得轻松自然。学生也不会去死记一些知识了。例如：a，b，c满足什么条件时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相异正根。

分析：一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）有兩个相异的正根，与其相对应的“形”就是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的正半轴有两个不重合的交点。这时可作出草图（1），（2）。既然有两个相异的交点，必满足条件Δ=b2-4ac>0；既然交点都分布在x轴的同一半轴，则必有条件a，c同号，即ac>0：；既然交点均匀分布在右半轴，对称轴也必在y轴的右侧，因此必有条件a，b异号。即ab<0.综合上述分析可得：a，b，c必须满足不等式组

Δ=b2-4ac>0

ac>0

ab<0

图（1）

图（2）

有了上述数形结合的分析思想，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），什么条件下有两负根，一正一负，负根绝对值大，两根位于某两个已知数之间或之外等类似问题，均可一一得出解答。

二次函数这一部分，是中考试题中的重要内容，因此引导学生树立数形结合思想显得极为重要。下面部分省市最近几年的中考试题中选出有代表性的两道，以供大家从中体会。

1. 抛物线y=x2-（m-3）x-m.（1）证明：无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个交点。（2）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点的距离等于3？（3）当m为何值时，方程x2-（m-3）x-m=0的两根同负或两根同正？

2. 已知二次函数y=-x2+bx+4，且不等式-x2+bx+4>0的解集是-5

（1） 求这个二次函数的解析式；（2）这个二次函数的图像经过怎样的平移，使它与x轴只有一个交点？（3）这个二次函数的图像经过怎样的平移，满足当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x增大而减小？（4）试写出同时满足（2）（3）的函数的解析式。