万千变化abc
2017-12-28王联福
王联福
摘要：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质是初中数学重要内容，学生学习时经常会对a、b、c变化对图象的影响判断产生混淆，对掌握图象性质带来不少障碍。笔者在教学实践中将a、b、c对图象影响选取若干典型案例进行解读，希望能对学生学习掌握这方面的知识带来帮助。
关键词：二次函数；图象与性质；数形结合
数缺形时少直观，形少数时难入微。在二次函数y=ax2+bx+c（d≠0）的图象与性质教学中充分利用数形结合的互相转化加深对这个问题的理解，在直观与抽象，感知与思维中让知识在脑海中留下深刻印象，让学生体会到数学学习的精妙！
我们先来明确函数y=ax2+bx+c的图象特征与a、b、c的关系（解析式中a、b、c的作用）
1. a决定开口方向及开口大小.（与y=ax2中的a完全一样）
（1） a>0则双曲线开口向上。（2） a<0则双曲线开口向下。
2. b和a共同决定抛物线对称轴的位置.（口诀：左同右异）
由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-b2a，故：①b=0时，对称轴为y轴；②ba>0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧（左同）；③ba<0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧（右异）.
3. c值决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置.
当x=0时，y=c，则抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点（0，c）：
①c=0，抛物线经过原点；②c>0，与y轴交于正半轴；③c<0，与y轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.
4. 双曲线y=ax2+bx+c与x轴的交点可通过解方程ax2+bx+c=0而获得，所以
①如果
SymbolDA@ >0，则y=ax2+bx+c交x轴于两点。
②如果
SymbolDA@ =0，则y=ax2+bx+c交x轴于一点。
③如果
SymbolDA@ <0，则y=ax2+bx+c與x轴无交点。（
SymbolDA@ =b2-4ac）
基础运用
已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①a+b+c>0；②a-c<0；③b2-4ac>0；④b<2a；⑤abc>0.
其中正确的有（）个.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
解：①根据图示知，当x=1时，y>0，即a+b+c>0.故①正确；②如图，抛物线的开口向上，则a>0.抛物线与y轴交与负半轴，则c<0，所以a-c>0.故②错误；③如图，抛物线与x轴有两个不同的交点，则Δ=b2-4ac>0.故③正确；④如图，对称轴-1
变形提高
已知二次函数y=ax2+bx+c（x≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①2a+b>0；②b2-8a>4ac；③8a+c>0；④9a+3b+c<0.
正确的有.
解：①由图知：抛物线开口向上，得：a>0；抛物线的对称轴为x=-b2a=1，b=-2a，则2a+b=0故①错误；②抛物线交y轴于负半轴，得：c=-2；因为b=-2a，所以b2-8a=4a2-8a，4ac=-8a，因为4a2>0，所以4a2-8a>-8a，所以b2-8a>4ac，故②正确；③根据①可将抛物线的解析式化为：y=ax2-2ax+c（a≠0）；由函数的图象知：当x=-2时，y>0；即4a-（-4a）+c=8a+c>0，故③正确；④根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x=-1时，y<0，所以当x=3时，也有y<0，即9a+3b+c<0；故④正确；故答案为②③④.
本题的亮点②b2-8a>4ac；③8a+c>0；通过图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换来得到结论.
本着“问题—探究—反思—提高”的过程，展开所要学习的数学主题，使学生在了解原有知识基础上，理解并掌握相应的学习内容。
基础训练、变形提高，有效的数形结合极大地激发了学生的学习兴趣，培养学生的观察、分析、归纳、概括能力，提高数学课堂教学的效率和效果，促使学生主动参与并“卷入”到“做”数学的活动中，从而更加深刻地认识并掌握二次函数的图象性质。
参考文献：
[1]王建磐.义务教育课程标实验教科书初中三年级（九年级）（下），《数学》华东师范大学出版社.
[2]王凤章.初中数学教学的新视野[J].数学学习与研究.
[3]李金芳，马维政.数形结合思想在初中数学教学中的渗透[J].考试周刊.
