浅谈一题多解与一题多变

许国能

摘要：数学是一门必修学科，它具有整体性、逻辑性和复杂性的特点，会使学生在学习过程中觉得有点吃力。但是，高中数学是高考中的一个重要组成部分，其分值也比较大，对学生的升学产生直接的影响。所以，必须在高中数学教学中提升教学的有效性。高中数学教师要根据学生的实际情况，及时地改变数学的教学方法，不断地探索新的、更加有效的教学模式，例如一题多解和一题多变的教学，这种教学方法不但可以巩固学生的基础知识，还能培养学生的思维和创新精神，提升学生的解题技能。本篇文章主要从现阶段高中数学的教学情况开始分析，提出在高中数学学习中运用一题多解和一题多变的教学方法的建议和措施。

关键词：一题多解；一题多变；高中数学；教学方法

一、 高中数学教学现状

虽然新课改已经实行了许多年，但是高中数学教学受到传统教育理念和教学模式的影响还比较严重，使得学生在学习过程中依然要面对作业繁重的问题，需要承受高考所带来的压力。究其原因，一方面由于受应试教育模式的影响，使得学生必须参加高考，使得教师在高中数学的教学过程中为了提高学生的学习成绩，使其能在高考中取得高分，往往采用习题教学，让学生通过做大量的习题来巩固所学的知识，但是同样存在着巨大的弊端。单调繁重的习题练习，会使得学生在这样的学习中造成思维的固化，还会对数学学习产生疲劳感，使得对数学的学习停留在表面，缺少深入的钻研。另一方面，由于社会竞争的越来越激烈，使得教师和家长在无形中将这种压力传给孩子，使得学生在学习中往往更加在意分数的高低和排名的前后，而不是在每次的学习和考试中总结自己的学习情况：解题思路是否更加简答、快捷？知识的掌握是否全面和深入。这些原因使得高中数学的教学更加机械化和表面化，为了追求分数，而忽略了对数学知识的整体把握，也忽视了对学生数学思维和学习能力的培养。

二、 高中数学学习中运用一题多解与一题多变的必要性

（一） 激发学生的创新意识

如果一题多解、一题多变在高中数学学习中能够得到灵活地运用，那么数学的教学就会更加地全面和深入。在这样的一个学习过程中，引导高中生联系自己已有的知识储备进行一个积极全面的思考，学生在进行数学问题的分析和思考的过程中，开始改变单向的思维模式，转而不断开拓和发散自己的思维，学会从不同的方面探讨问题，进而发现不同的思路和解决办法。这样不仅可以巩固前面所学的知识，还能提高学生的创新意识，使得学生能够将教师所传授的解题思路与解题技巧进行内化，从而提高学生做题的速度和准确率。

（二） 使得学生对知识的掌握更加全面

一题多解、一题多变的数学学习方式可以将相关的数学知识联系和整合起来，然后再根据数学题目的不同，解题要求的不同，对知识采取不同的组合方式，进行解题。这样的数学学习方式还能打破学生以往的思维惯性，学会灵活地运用所学的知识，进而能够从一个整体上把握知识的全貌，善于总结和归纳这些知识之间的联系和区别。大量的一题多解和一题多变的训练后，学生渐渐学会举一反三，使得数学知识的学习更加系统化和全面化。

（三） 提升学生解决问题的能力

数学教学的一个重要目标就是培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。一题多解与一题多变的数学教学方式能够不断锻炼学生的思维能力，而且还能拓展学生的发散性思维。使得学生在遇到问题时，自觉地从不同的层次和不同的角度对这个问题进行一个全面的分析，从而发现不同的解决问题的方法，经过对比分析，最终选择一个最简便的方法。这样的教学方式，使得学生在学习新知识的同时，还能及时地回顾所学过的知识，做到温故而知新，遇到类似的问题时会自然而然地联想到与其他问题之间的关联性，进而在最短的时间里选择一种最简单的方法进行解题，极大地提升解题的效率。

三、 一题多解与一题多变在高中数学学习中的运用措施

（一） 在习题练习中的应用

为了使学生对数学知识掌握得更加牢固和深刻，教师经常会给学生布置大量的练习，让学生在大量的习题中加深对知识的记忆和理解。但是往往这些练习比较零散，也缺乏针对性，使得学生往往做完这道题，在碰到下一道类似的题目时却不会做，使得练习很低效。因此，数学教师要将一题多解和一题多变运用于习题练习中去，提高学生的学习积极性，也真正实现习题的训练效果。一题多解和一题多变这样的变式训练能够将所学习的知识进行不同的组合和运用，进而帮助学生更加系统和全面地掌握所学的内容。在高中数学教学中采用梯度的训练方式，能够激发学生进行思维的创新和思维的拓展，久而久之会形成自己独特的数学知识体系。教师在布置习题练习时，以一组一组的形式展开，把相关的习题进行整合，变换不同的形式，以从不同的角度对学生进行考察，使得学生在练习的过程中能够运用所学的全部知识，进行不同的组合，从而扎实自己的数学基础。

例如，在对“等比数列”的知识进行复习时，为了使高中生对这一节知识的掌握更加牢固，数学教师可以把之前的练习再拿出来，进行一定地变化和拓展，使得高中生对新知识的理解更加深刻、运用更加熟练。学生之前做过这样的一道题：已知在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求出{an}的通项公式。在学习了等比数列的通项公式后，教师可以将这道题进行改造，构造一个新的等比数列{an+1}，要求求出它的通项公式后，再求出{an}的通项公式。通过这样的一个变化，能使得学生对等比数列的知识有一个熟练的掌握，提高做题的效率。

（二） 在思维拓展中的应用

通过高中数学的学习，要求学生在掌握基本的数学知识外，还要具备一定的数学思维。所以，高中数学教师在日常教学中通过采用一题多解、一题多变的数学方式，鼓励和引导高中生进行积极的思考，从而渐渐培养高中生良好的数学思维。在传统的高中数学教学中，习题的讲解和试卷的评讲会比较单调乏味，致使学生的积极性不高。導致这种情况的一个最重要的原因就是因为教师在习题讲解的过程中就题论题，生搬硬套，缺乏新颖性，不仅无法激发学生的思维，在某种程度上还会固化学生的思维，使得学生在分析问题时不自觉地受到教师的影响，往往会限于一个思维的困境。因此，教师在数学教学中要注意引导学生自己去进行问题的探索，要能够从最简单的习题出发，进而进行不断地变式，让学生直观地感受同样的一道题可能会有许多种变化，一道题可能有许多不同的解题方法，促使学生自发地进行反思和总结。

例如，在复习“概率”的相关知识时，教师可以给出这样的一道题：一个盒子里有2颗红色的球和7颗白色的球，一个人随机地从盒子里面拿球，拿出来的球不再放回盒子中去，计算第四次拿出的球是红球的概率。这是一道很普通的概率问题，教师不要直接告诉学生怎么去计算，而是引导学生尝试用两种方法去计算。第一种计算方法是把盒子中所有的球都取出来，然后进行排列，把每一个排列的形式都当作一个基本的事件来看待，算出总事件，从而得出第四次拿到红球的一个概率。第二种计算方法是把前四次取出来的球也进行一个排列，分别计算出基本的事件，最后计算出第四次拿到的球是红球的概率。这样的一个思考过程是对学生解题方法的提高，也是对学生数学综合素质的提升。

（三） 在知识讲解中的应用

在高中数学教学中运用一题多解与一题多变的教学方式，能够使得知识的讲解更加直观，学生理解起来更加全面。高中数学的学习相对来说具有一定的难度，学生对相关的定义定理、规律公式往往理解起来比较困难，这个时候教师如果还是按照书本进行照本宣科，不仅不能让学生了解相关的知识，还会挫伤学生的数学学习自信心。但是教师如果将一题多解和一题多变式的教学策略灵活地应用于日常教学，从知识点的不同方面进行讲解，直观全面地传授知识，这样高中生理解起来更加简单，这也是符合高中生的学习规律。

例如，在学“三视图”的相关知识时，考虑到学生很少接触这些知识，缺乏一定的空间思维能力和想象能力，教师可以转换一下教学方式，帮助学生学习这一节知识。比如：教师可以充分利用身边的物体进行教学，矿泉水瓶就是一个很好的教学工具，教师可以将矿泉水瓶正放在讲台上，让学生画出它的正视图，等学生画完后，教师在把矿泉水瓶放倒，瓶底对着学生，让学生再画出自己看到的矿泉水瓶形状，以此类推，再画侧面。通过这样的一个不断的变化，能够让学生更加直观形象地了解到三视图的含义，真正理解三视图就是指把一个物体放在一个固定的位置上，然后从三个不同的方向进行投影，也能够帮学生了解如何通过观察物体的三视图来推断物体的形状。采用这样一个不断变化的教学方式，比教师直接告诉学生三视图是什么、如何画三视图更加有效。在知识讲解中运用一题多解和一题多变的教学思维，能够极大地调动学生的学习积极性，也能充分发挥学生的创造力，从而切实提升高中数学的教学方式。

（四） 在知识复习中的应用

任何学科知识之间都存在着一定的关联，需要学生整体进行把握。高中数学的知识点，虽然表面上看并没有什么交集，但是这些数学知识之间却有着千丝万缕的联系。高中数学每个模块的学习都是相互衔接的，因此教师在教学过程中要善于帮助学生总结、把握这些联系，从而更好地从宏观上认识数学的学习。教师要经常带领学生进行学习的小结，时间和内容跨度根据学生的实际情况，时间可以是一个星期、一个月，内容可以是一个大的章节，也可以是其中的一节。及时对所学的知识进行复习和总结，能够及时发现自己在学习中存在的不足，进而查缺补漏，也能在复习的过程中发现不同知识之间的联系。这一点是非常重要的，因为在高考数学考试中单独地去考察一个知识点是非常少见的，大部分的考题都是涉及许多不同的知识点。但是按照传统的复习方式，不仅不会达到预计的目标，还会使学生对数学学习产生厌倦。因此，可以将知识的复习与习题的练习结合起来，再结合一题多解、一题多变的形式，把不同章节的知识重新组合，使数学知识的学习更加灵活。在这样的习题中，高中生能够学会各种各样的解题方式，实现从特殊到一般的转化，进而发现不同数学问题中的共性特征，使得对数学问题的分析更加全面。

例如，在复习“数列”这块知识时，教师就可以将等差数列和等比数列类比起来，而不是仅仅做关于只涉及等差数列或者是等比数列的题目，因为对相关知识的考查都是交叉着进行的。因此教师要将这两种数列融合进一个题目中，然后对题目进行不断地组合，不断地变化，使得学生对这一节知识的掌握更加牢固和熟练。比如“已知一个等差数列{an}的前10项和是310，前20项和是1220，由此可以确定其前 n 项和的公式吗？”要求学生用两种方式进行解答：

解法一：S10=310，S20=1220将它们代入公式Sn=na1+n（n-1）/2*d得到：

10a1+45d=310，20a1+190d=1220解这个关于a1与d的方程组，得到a1=4，d=6；

所以，Sn=4a1+n（n-1）/2*6=3n2+n。

解法二：因为{an}为等差数列，所以Sn=n（a1+an）/2，将条件带入可得：10（a1+a10）/2=310①

20（a1+a20）/2=1220②

②—①×2得a20-a10=60，由d=（a20-a10）/（20-10）得d=6，

又由Sn=na1+n（n-1）/2*d得S10=10a1+45×6=310，

∴Sn=4a1+n（n-1）/2*6=3n2+n

通过引导学生用不同的方式解答问题，不仅可以巩固学生的知识基础，还能开拓学生的思维。

综上所述，在高中数学教学中运用一题多解和一题多变的教学方式，需要教师不断转变教学理念和创新教学方式，改变以往照本宣科式的教学模式，改变传统的漫无目的的题海战术，充分调动学生的数学学习兴趣，让学生积极参与到数学教学中去。教师要将一题多解和一题多变应用于高中数学教学的全過程，比如知识的讲解、课堂的练习、知识的巩固等，让学生的数学学习更加地开放，处在一个动态的过程中，从而拓展学生的思维能力，提高学生的解题能力，使得学生对知识的掌握更加全面和扎实，切实提高学生的数学学习水平，促进学生综合素质的全面提升。

参考文献：

[1] 阚志超.“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践[J]. 中国校外教育，2015，（29）：23.