与轴对称相关的线段之和最短问题

李志若

摘 要：本文通过实例说明利用对称性实现“化折为直”“化斜为垂”，从而解决线段之和最短问题的方法。

关键词：线段和最小值；轴对称

在学习了轴对称图形之后，学生在解答求线段和最小值问题时，常常思维受阻，无从入手。解此类题的总体思路是利用对称性实现“化折为直”“化斜为垂”，现选取几例进行分析。

一、 此类题的数学模型一是归于“两点之间线段最短”；二是归于“垂线段最短”

（一） “两点之间线段最短型”

1. 如图1，直线l和l的异侧两点A，B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

2. 如图2，直线l和l的同侧两点A，B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

3. 如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小。

4. 如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B，使四边形PAQB的周长最小。

（二） “垂线段最短型”

5. 如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。

6. 如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。

二、 “一线上一动点”两线段和最小值求解

【例1】 如图7，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

解析：作点B关于直线CD的对称点B′，连接AB′，交CD于点M，则AM+BM=AM+B′M=AB′，水厂建在M点时，费用最小，如图，在直角△AB′E中，AE=AC+CE=10+30=40，EB′=30所以：AB′=50总费用为：50×3=150万。

三、 “两线上两动点”三线段和最小值求解

【例2】 如圖8，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值。

解析：本题在最短矩离这一问题中，是典型的两动点问题。如图9利用轴对称变换的性质，P到OB上任意一点R的距离，等于它的对称点P1到OB上对应点R的距离，同样P到OA上任意一点Q的距离，等于它的对称点P2到OA上对应点Q的距离，问题就转化为找P1到R到Q再到P2的线段和问题，利用“两点之间线段最短”，连接P1P2交OB与R，交OA与Q，以达到 “化折为直”，找出三条线段和的最短线段，在根据轴对称性易知：OP1=OP2=OP=10，∠P1OP2=2∠AOB=90°，因而P1P2=102，故△PQR周长的最小值为102。

四、 “两线上两动点”两线段和最小值求解

【例3】 如图10，在直角△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=3，P是AB边上的动点，M是BC边上的动点，求CP+PM的最小值。

解析：要使CP+PM的值最小就要设法把CP、PM转化到同一条直线上，利用轴对称变换的性质，C到AB上任意一点P的距离等于它的对称点C1到AB上对应点P的距离，问题就转化为找C1到直线AB上的P点，再到直线BC上的M点线段和问题，利用“垂线段最短”，如图11，作C1M垂直BC于M，交AB于P，则（CP+PM）最小=C1M，以达到“化折为直”“化斜为垂”即可解决。由30°角的直角△ABC的AC边长为3，可求得AB=6，BC=33，CD=323，那么C1C=2CD=33，再由30°角的直角△C1MC的C1C边长为33，求得（CP+PM）最小=C1M=92。

五、 “三线上三动点”两线段和最小值求解

【例4】 菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，求PK+QK的最小值。

解析：要使PK+QK的值最小，就要设法把PK、QK转化到同一条直线上，利用轴对称变换的性质，BC上的点P到BD上任意一点K的距离等于它的对称点P1到BD上点K的距离，问题就转化为找从线段BC关于BD对称线段AB上的一点P1到直线BD上的K点再到直线CD上的Q点线段和问题，利用“转折为直、化直为垂”，即“垂线段最短”得PK+QK的值最小为AD与BC两平行线的距离，即（PK+QK）最小=AE=3。

上述几种线段和最小值的疑难突破策略，关键是找准对称轴，利用对称变换将点的位置进行转化，从而达到“化折为直”“化斜为垂”的目的，使问题得以解决。