基于微积分思想的几何应用

□何 琼 马冬文

（江西工业贸易职业技术学院 江西 南昌 330038）

基于微积分思想的几何应用

□何 琼 马冬文

（江西工业贸易职业技术学院 江西 南昌 330038）

高等数学是大学数学开设的一门重要课程，旨在微积分思想的学习，本文从曲边梯形面积求解的过程理解微积分，并引出定积分的定义，然后对这个定义进行特殊化，从而有了一系列的应用，为今后的学习作好铺垫和借鉴。

微积分；定积分定义应用；二重积分

微积分概括起来，主要有四种类型的问题：第一类是物理问题，研究物体的运动状态，也就是变速直线运动中求瞬时速度的问题。第二类是几何问题，求曲线在某一点处的切线。第三类问题是函数问题，求函数在某区间上的最大值和最小值。第四类问题是求曲线弧长、若干条曲线围成图形的面积、若干个曲面围成立体的体积，还有不规则物体的重心、物体外一点对物体的引力。其中第四类问题中求若干曲线围成图形的面积，演化为求曲边梯形的面积，这就是微积分思想的核心定义——定积分的定义。

1 定积分的定义

定积分的定义就从求解曲边梯形面积的角度去理解，由曲线y=f(x)，直线x=α,x=b以及x轴所围的图形，称为曲边梯形，求其面积需要分四个步骤求解。

第一步，概括为“分割”，将区间[α,b]分割成n份，α=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b每一小份的长度记为△xi=xi-xi-1(i=1,2,…)。

第二步，归纳为“取近似”，将分割的每个小的曲边梯形近似为长方形，求其面积，近似为求长方形的面积，长方形面积是长乘以宽，在区间[xi-1,xi]上任意取一点ξi，以此点在曲线上的高度f(ξi)为高，以△xi为宽，长方形面积就是△Ai≈f(ξi)·△xi。

第三步，简称为“求和”，我们需要求的是整个曲边梯形的面积，上一步只求了其中一小块面积的近似值，所以整个面积是将所有小块面积相加

最后一步，为了到达精确，完成求曲边梯形的面积的真实值，需将第一步无限分割下去，总结为“求极限”，注意到第一步的分割是随意分割的，为描述无限分割，记，那么当λ→0，就说明所有的小段均趋向于零，ξi、xi-1、xi三点就无限靠近，几乎重合，高f(ξi)就成为某一点处的高度，就可以计算出真实面积，将此定义为定积分

2 定积分定义应用于求极限

现在将上述第一步和第二步进行特殊化，第一次特殊化是将区间[α,b]任意的分割，换成特意分成n等份，每一段的长度就为；第二次在区间[xi-1, xi]上任意取一点ξi，由于是在闭区间上取得点可以任意取，所以ξi取右端点xi，那么第三次，取α=0,b=1，则,那么，这样一来，定积分的定义式变成了如下模样：

由我们推到出来的等式，可以用来求解较复杂的数列极限，下面给两个例题进行说明。

3 应用的升华

我们上面特殊化的第二步：ξi取右端点xi，当然也可以取左端点xi-1，定积分定义式又可以变成此外，还可将其推广到二重积分：积分区域D取作正方形D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，用平行于x轴和平行于y轴的直线分割成小矩形，分割出来的一小块的面积在小块矩形内任取的点取特殊化那么二重积分就变成

它可用于求解二重积分。

10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2017.22.108

1004-7026（2017）22-0137-01

O172-4;G642

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