再论小学数学教材中的分段函数问题

文︳王凯成

再论小学数学教材中的分段函数问题

文︳王凯成

笔者在2007年曾研究过小学数学教材中的分段函数问题（王凯成.小学数学教材中的分段函数问题（J），小学教学研究，2007年第7期）。由于课标教材重新修订，更加注重渗透数学思想方法，各版本的小学数学教材都渗透了分段函数的内容，因此，重新挖掘研究小学数学教材中的分段函数问题很有必要。

例1（西南师大版小学数学教材五年级上册）蓝叔叔选择的上网收费标准是：每月缴30元可以上网50小时，超过50小时每小时收1.5元。蓝叔叔这个月上网78小时，需要缴多少元上网费？

解：蓝叔叔这个月上网78小时，78＞50，按规定蓝叔叔上网的78小时中的50小时需缴费30元，剩余的78-50=28（小时）应缴费1.5×28=42（元）。所以，蓝叔叔这个月上网78小时应缴30+42=72（元）的上网费。

一般地，设某人这个月上网x（x是正整数）小时，需要缴 （fx）元的上网费。那么 （fx）是分段函

例2（人教版小学数学教材五年级上册）某市自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。12吨以内的每吨2.5元；超过12吨的部分，每吨3.8元。

（1）小云家上个月的用水量为11吨，应缴水费多少元？

（2）小可家上个月的用水量为17吨，应缴水费多少元？

解：（1）小云家上个月的用水量为11吨，由于11＜12，按规定应缴水费 2.5×11=27.5（元）。

（2）小可家上个月的用水量为17吨，17＞12，按规定17吨中的12吨每吨缴费2.5元，12吨应缴2.5×12=30（元）；超出的 17-12=5（吨）每吨缴费3.8元，5吨应缴3.8×5=19（元）。所以小可家上个月应缴水费为30+19=49（元）。

一般地，设某家上个月用水量为x吨，应缴水费为f（x）元，那么f（x）是分段函数：

例3（苏教版小学数学教材五年级上册）为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过部分按每千瓦时0.6元收费。小明家10月付电费64.6元，用电多少千瓦时？

解：因为64.6＞52，所以小明家10月的用电量超过了100千瓦时。小明家10月用电量为：100+（64.6-52）÷0.6=121（千瓦时）。

设小明家10月的用电量为x千瓦时，那么可以用右图直观呈现题设条件。

一般地，设某家10月用电量为x千瓦时，付电费为f（x）元，那么f（x）是分段函数：

西南师大版小学数学教材五年级上册也有电费分段收费问题。请看例4。

例4 （根据西南师大版小学数学教材五年级上册练习题改编）为了鼓励节约用电，某市实行“阶梯电价”，收费标准如下表所示。

月用电量x（千瓦时）0＜x≤170170＜x≤240240＜x每千瓦时电费（元） 0.52 0.57 0.87

小华：我家这个月用电170千瓦时，应付多少元？

小青：我家这个月用电185千瓦时，应付多少元？

例5 （人教版小学数学教材四年级上册第105页例2，北师大版小学数学教材四年级下册第82页例题）每一次只能烙两张饼，每个饼的两面都要烙，每面3分钟。如果要烙1张饼、2张饼、3张饼、4张饼……10张饼，怎样烙合理？你发现了什么？

解：烙1张，有2面，每次烙1面，烙2次，需2×3=6（分钟）；

烙2张，有4面，每次烙2面，烙2次，需2×3=6（分钟）；

烙3张，有6面，每次烙2面，烙3次，需3×3=9（分钟）。

烙4张、5张、……10张饼，怎样烙合理？

转化：

（1）烙偶数张饼，不妨设为2n张，那么2张2张地烙，每2张需要6分钟，共n个2张，所以烙2n 张饼需要 6n=（2n）×3(分钟)。

（2）烙大于1的奇数张饼，不妨设为2n+1张，那么先烙3张饼，需要9分钟，剩下的2n+1-3=2（n-1）张，2 张 2 张地烙，烙 2（n-1）张需要 6（n-1）分钟。所以烙2n+1（n是正整数）张饼需要9+6（n-1）=6n+3=（2n+1）×3（分钟）。

由（1）和（2）可见，烙x（x＞1）张饼，无论x是奇数还是偶数，烙这x（x＞1）张饼都需要3x分钟的时间。

一般地，设烙x张饼，需要的时间为f（x）分钟，那么f（x）是分段函数：当x=1时，f（x）=6；当x＞1时，f（x）=3x。

例6（苏教版小学数学教材四年级下册）长阳动物园的门票价格规定如下表所示。西街小学四年级同学去长阳动物园春游，一班有48人，二班有49人，三班有52人。

购票人数 1～50 51～100 100以上票价 15元/人 13元/人 10元/人

（1）每个班分别购票，各需要多少元？

（2）三个班合起来购票，一共需要多少元？

解：（1）一班有 48人购票，由于 1＜48＜50，每人15元，一班购票需要15×48=720（元）；二班有49人购票，由于1＜49＜50，每人 15元，二班购票需要15×49=735（元）；三班有52人购票，由于50＜52＜100，按规定52人中的50人购票每人15元，剩下52-50=2（人）购票每人13元，三班购票需要 15×50+13×2=776（元）。

（2）三个班合起来一共有48+49+52=149（人），149人购票，按规定149人中的50人购票每人15元，另外50人购票每人13元，剩下的149-50-50=49（人）购票每人10元，三个班合起来购票，一共需要15×50+13×50+10×49=1890（元）。

一般地，设x人在长阳动物园购票，购票费为f（x）元，那么f（x）是分段函数：

例7 （根据人教版小学数学教材五年级上册练习题改编）出租车收费规定：3km以内7元；超过3km，每千米1.5元（不足1km按1km计算）。小李坐出租车6.3km，要付多少钱？

解：6.3＞3，6.3-3=3.3，3.3 千米应按 4 千米收费，收费 y=7+1.5×4=13（元）。

一般地，设行车里程为x千米，收费为f（x）元，那么f（x）是分段函数：当0＜x≤3时，f（x）=7；当x是大于3的整数时，f（x）=7+1.5（x-3）；当x大于3且不是整数时，f（x）=7+1.5（［x］-2），其中[x]表示x的整数部分。

例8（人教版小学数学教材五年级上册）某地打固定电话每次前3分钟内收费0.22元，超过3分钟每分钟收费0.11元（不足1分钟按1分钟收费）。妈妈一次通话时间是8分29秒，她这一次通话的费用是多少？

解：妈妈这次通话的时间是8分29秒，超过3分钟，按照收费规定，8分29秒中的前3分钟收费0.22元，剩下的5分29秒应按6分钟付费，且这6分钟每分钟付费0.11元。

所以，妈妈这一次的通话费用是：0.22+0.11×6=0.88（元）。

一般地，设某人的通话时间为x分钟，应付费为f（x）元，那么f（x）是分段函数：

数学教育家李秉彝提出，数学教师应当上通数学，下达课堂。上通数学就是要了解数学内容所渗透的数学思想方法，把具体的数学知识上升到更高的层次，用高观点来理解。下达课堂就是要熟悉学生的知识水平与能力，在高观点的指导下，在学生现有知识水平上进行有效教学，而不是机械地照搬高观点。上通数学，下达课堂应该成为每一位数学教师的自觉行动。

（作者单位：陕西省小学教师培训中心）