“分数除法解决问题”教学研究报告

文︳长沙市岳麓区滨江小学数学组 潇湘数学教育工作室

“分数除法解决问题”教学研究报告

文︳长沙市岳麓区滨江小学数学组 潇湘数学教育工作室

一、问题

“分数除法解决问题”是人教版数学教材六年级上册中的教学内容。它是在学生掌握了分数乘法计算、解决问题和分数除法计算的基础上进行教学的，是小学阶段解决问题中的一大难题。

从教材编排上看，这一类问题是“求比一个数多（少）几分之几是多少”的稍复杂分数乘法解决问题的延伸。教师在教学这一类问题时，会训练学生按如下步骤进行解题：一找关键句，通常是找含有分率的句子；二定单位 1，“的”前“比”（是）后的量为单位1；三列算式，单位1已知用乘法，单位1未知用除法，多则加、少则减，然后进行训练。

按照这种方法，学生似乎只需机械地记忆并套用公式，但在练习时却频繁出错。这种情况一直困扰着众多教师。学生为什么练习中会频繁出错？我们该如何帮助学生解决这个问题，切实提高学生解决此类问题的能力？为此，我们数学组进行了思考和实践。

1.教学实践中的问题

为了切实掌握学生的学习起点，以及练习中出现的问题，我们随机抽取了90名六年级学生进行了教学前测。前测要求是只写出数量关系式，测试题目和结果统计如下：

（2）磁悬浮列车的运行速度可达到430千米/时，普通列车比它慢，普通列车的速度是多少？

（3）有一组互相咬合的齿轮，小齿轮每分钟转400周，大齿轮每分钟转的周数比小齿轮少，大齿轮每分钟转多少周？

（4）有一组互相咬合的齿轮，大齿轮每分钟转80周，比小齿轮每分钟转的周数少，小齿轮每分钟转多少周？

题号 正确率 错误率找错单位1 审题不清或书写错误（1） 84.4% 6.7% 8.9%（2） 82.2% 10% 7.8%（3） 80% 8.9% 11.1%（4） 60% 26.7% 13.3%

从前测结果统计来看，学生未学习这一内容，在写“求比一个数多（少）几分之几是多少”的关系式时，正确率在80%左右，而在写“已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数”的关系式时，正确率下降到60%。通过对学生的前测结果进行分析，结合对教师的调查，我们发现在教与学中主要存在以下问题。

（1）前面的学习中没有与“比一个数多（少）几分之几”这类数量关系相匹配的题型，也就是说这一内容与学生之前的学习出现了断层。学生没有可供借鉴的学习经验，出错也就在所难免。

（2）教学分数乘法时直接列式计算，不要求写关系式。很多老师在教学第一单元分数乘法应用题时，训练学生审题后直接列式计算。由于这个知识点比较简单，学生整体掌握得较好。但是，一旦接触分数除法应用题后，尤其是遇到分数乘除法应用题的对比练习时，学生难以根据数量关系式找出它们的联系与区别，容易将两类题混淆，导致出错。

（3）审题不清，错误地转换单位1。比如：王军体重50千克，王军的体重比李明轻，李明有多重？不少学生会将“王军的体重比李 轻”理解为“李明的体重比王军重”。究其原因，主要有两点。一是“王军的体重比李明轻”这句话的意思高度浓缩，学生难以理解。其实，这句话的完整表达是“王军的体重比李明轻了李明体重的”，单位1是李明，关系式为：李明的体重-李明的体重×=王军的体重。二是整数解决问题方法负迁移的影响。因为在解决整数的应用题时，王军的体重比李明轻20千克，等同于李明的体重比王军重20千克，即王军的体重=李明的体重-20，或者李明的体重=王军的体重+20，用加减法即可解决。受整数解决问题方法的影响，碰到“王军的体重比李明轻”时，学生便会错误地将它等同于“李明的体重比王军重”。正是这一转化过程中单位1被错误地转换导致出错。

2.教学对策

（1）注重对学生审题、写数量关系式的训练。审题是学生明确题目要求、理清各要素之间关系的重要步骤。在教学分数乘法应用题时，应训练学生审题、练习写数量关系式，包括求一个数的几分之几是多少以及求比一个数多（少）几分之几是多少这两类数量关系式。我们认为，注重对数量关系的分析，找准数量关系式，是解决分数问题的关键。比如，

（2）将分数乘法和分数除法解决问题作为对比练习。教学时，可以把分数除法解决问题与分数乘法解决问题结合起来，理清它们之间的联系与区别，让学生在比较的过程中发现，数量关系式只与关键句有关。不管单位1是已知还是未知，我们都可以用乘法数量关系式解决这些问题。求一个数的几分之几是多少以及求比一个数多（少）几分之几是多少这两种题背后的解题策略是一致的。

按照以上思路，我们进行了如下的教学尝试。

二、实践

1.复习引入，解决求比一个数少几分之几是多少的实际问题。

师：已知爸爸的体重是75千克，你知道小明的体重是多少千克吗？为什么？

生1：不知道，因为少了一条信息，不知道爸爸的体重和小明的体重之间的关系。

生1：爸爸重些，小明轻些。

生2：小明比爸爸轻。

师：如果这样表示爸爸的体重，小明的体重可以怎样在图上表示呢？（学生上台画图，如下图所示）

师：那怎样把小明的体重和爸爸的体重之间的关系表示出来呢？

生3：爸爸的体重×（1-）=小明的体重。

师：还有不同的想法吗？

生4：爸爸的体重-爸爸的体重×小明的体重。

师：这就是爸爸的体重和小明的体重之间的关系，我们把这种关系式叫做数量关系式。你能根据数量关系式求出小明的体重吗？（生练习）

师：谁来说一说你是怎么做的？

生5：把爸爸的体重换成75，得：75-75×=35（千克）。

师：用这种方法做的同学请举手。有没有同学是根据另一种关系式做的？

生6：把爸爸的体重换成75，得 75×（1-1=35（千克）。

师：看来数量关系式很重要，它是解决这类问题的突破口。

设计意图：课伊始，老师故意隐藏关键句，让学生体会到这个信息的重要性。接着根据关键句写数量关系式，再让学生汇报如何根据关系式列算式。最后小结数量关系式的重要性，为下一环节的教学埋下伏笔。

2.新授。

师：跟刚才的图相比，你有什么发现？

生7：比爸爸轻没有变。现在知道小明的体重是35千克，要求爸爸的体重是多少千克。

师：你能把这道题的数量关系式也写出来吗？（生写，师巡视）有的同学是这样写的：小明的体重×（1-）=爸爸的体重。你是怎么想的？

生8：把小明的体重看作单位1，得：小明的体重×（1-=爸爸的体重。

师：你们同意他的想法吗？（不同意）谁来摆一摆？你可以用适当的数字、适当的符号把这个关系式摆出来。

生9：爸爸的体重×（1-=小明的体重。

生10：小明的体重÷（1-）=爸爸的体重。

师：你们同意吗？（同意）但是仔细观察，这两种摆法本质上是相同的。还有不同的摆法吗？

生11：爸爸的体重×=小明的体重。

师：大家看看，他这个数量关系式对不对？（不对）他求的是什么？

生12：他求的是比爸爸轻的那部分体重。

师：谁能帮他改一改？

生13：爸爸的体重-爸爸的体重×=小明的体重。

师：数量关系式整理好了，你们发现了什么？

生：跟前面题的数量关系式是一样的！

师：也就说明它们的数量关系没有改变。现在请你们根据这个数量关系式列出算式并计算。（生练习后汇报）

师：你是怎么列出算式的？为什么？

生14：因为爸爸的体重不知道，我把爸爸的体重设为x千克。我的算式是x-x=35。

师：如何在图上体现？（生在黑板上对线段图进行调整，如图所示）

师：如何体现到数量关系式当中呢？

生15：x-x×=小明的体重。

师：也就是说我们要把相应的量替换出来。刚才爸爸的体重是75千克，我们就换成75。现在爸爸的体重不知道，我们就用x代替。这样就根据数量关系式列出了方程，只要解出方程就顺利解答出问题了。看来用数量关系式可以有效地解决这类问题。细心的同学有没有发现，之前的练习和现在的例题有什么异同？

生16：它们的条件不同，关键句相同，数量关系式也相同。

师：也就是说同样的关键句可以解决两类问题，一类是单位1已知的情况，另一类是单位1未知的情况，都可以通过数量关系式找到突破口。

设计意图：在学生结合图示写数量关系式的基础上，教师展示错误转换单位1的情况，师生一同对数量关系式纠错，加深学生对数量关系式的理解。再结合数量关系式，选择合适的方法解决问题。

3.巩固练习。

师：你学会用数量关系式解决问题了吗？我们来试试看。

②有一组互相咬合的齿轮，小齿轮每分钟转400周，大齿轮每分钟转的周数比小齿轮少。大齿轮每分钟转多少周？

③有一组互相咬合的齿轮，大齿轮每分钟转80周，比小齿轮每分钟转的周数少。小齿轮每分钟转多少周？

课后，我们对巩固练习②③题的完成情况进行了统计，结果见下表。

题号 正确率 错误率错误转换单位1 审题或计算错误② 91.1% 4.5% 4.4%③ 82.2% 11.1% 6.7%

从统计结果来看，相对于前测，学生解决问题的正确率有了一定的提高。在解决问题的过程中，学生不再只关注单位1已知还是未知，用乘法还是用除法，而是更加重视理解题意，找出数量关系式，体会到了用方程解决问题的优越性。

三、讨论

经过教学设计与实践，我们对这节课的教学有了进一步的思考。

1.重视数量关系式的理解与应用。

写出数量关系式对解决此类问题有事半功倍的效果。借助数量关系式，可以沟通已知量和未知量之间的联系，从整体上对问题进行把握和建构。学生难以写出数量关系式时，教师需要放慢速度，结合线段图帮助学生理解。在学习分数乘法应用题时就要给学生充足的时间练习写数量关系式，包括“求一个数的几分之几是多少”和“求比一个数多（少）几分之几是多少”两类题型。在这一过程中，教师要注重引导学生发现，如果正确写出了数量关系式，解题时直接将数据代入数量关系式即可。有了这样的经验基础，在学习分数除法解决问题时，学生只需将这一方法进行迁移，把数量关系式中未知的量换成x，问题就能迎刃而解。最后引导学生归纳，不管单位1已知还是未知，我们都可以用这两类数量关系式解决这些问题。在后续练习中，教师要将分数乘除法解决问题进行交叉重组，帮助学生理清两种问题的区别与联系，选择合适的解题策略，从而建立有效的解题模型。

2.借助数量关系式用方程解决这类问题。

解决这类问题通常有两种方法。一种是用分数除法列式解答，这是一种算术思维。实际教学中，教师习惯于按照“一找关键句、二定单位1，单位1已知用乘法、单位1未知用除法，多则加、少则减”的方式让学生进行操练，并告诉学生用对应分量÷对应分率=标准量，即量率对应法则。这种解题模式过分注重迅速从题中提取数据，寻求数据间的对应关系，淡化了学生解题过程中的理解和感悟，不利于学生解决问题能力的培养和思维的发展。另一种是列方程解决问题，这是一种代数思维，也是一种关系思维，是通过把已知的和未知的关系用等式刻画出来，然后代入数据，逐步解答。最新的人教版数学教材将分数除法的解决问题部分由原来的算术解法修改为引入方程解决问题。在教学过程中，我们发现方程的确能有效地降低除法逆运算的思维难度。在后续用百分数解决浓度或利润问题时，数量关系更加复杂。比如：在10千克浓度为20%的食盐水中加入5%的食盐水和白开水各若干千克，得到了浓度为10%的食盐水。如果加入的食盐水是白开水质量的2倍，那么加入白开水多少千克？毋庸置疑，遇到这种更复杂的问题，引入方程的思路十分有必要。用方程解决问题是一种顺向思维，可以直接通过数量关系式找到突破口，解决问题的方法更符合学生的思维特点，普适性更强。所以，我们认为学生应该从这里开始进行方程的入门练习，从易到难，为后续学习奠定基础。

（执笔：谢凝、吴波勇、余钡、陈雷、陈泽荣、罗朝霞、郑志刚、徐旺、李闯）