巧用几何性质 优化向量计算

文︳谭祖荣

巧用几何性质 优化向量计算

文︳谭祖荣

通常我们把平面向量的运算分为几何运算和代数运算（坐标运算），其难点在运用几何定理建立关系式。灵活应用图形的几何特点与性质往往是解决问题的关键。

一、在三角形中灵活应用“四线”“四心”

三角形的中线、角平分线、高线、垂直平分线以及重心、内心、垂心、外心都有很优美的几何性质，灵活运用相关的性质，并用向量形式表达出来，是解题的好途径。

1.已知△ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB。若CB=a，CA=b，|a|=1，|b|=2，则CD=（ ）。

A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心

解析：如图，因为|AB|sinB=|AC|sinC，设它们等于 t，所以OP=OA+λ·（AB+AC），而AB+AC=2AD ，则λ·（AB+AC）表示与AD的共线向量AP，而点D是BC的中点，所以P的轨迹通过△ABC的重心，故选A。

二、利用向量模的几何意义构建几何图形

向量模本身就是线段，富有几何意义。利用模的几何意义，可以构建图形，再利用几何图形的几何性质找到解题的思路。

1.已知平面向量α ，β（α ≠0，α ≠β）满足 |β|=1，且α 与β-α 的夹角为 120°，则 |α |的取值范围是 。

解析：设OA=α ，OB=β ，如图，由题意得：∠OAB=60°，所以 0°＜∠OBA＜120°，所以0＜sin∠OBA≤1，在△OAB中，由正弦定理有：|OA|=即 |α |的取值范围是

A.2 B. 3C. 2D.1

解析：如图，设OA= ，OB= ，OC= ，则CA=- ，CB=- 。

所以O，A，C，B四点共圆。当OC为圆的直径时||最大。在△AOB中，AB=，△AOB的外接圆半径为R，由2R=，所以||的最大值为2。

以上几个示例启示我们：在向量的几何运算及与模有关的问题中，通过转化与化归，灵活应用图形的几何特点与性质可让问题迎刃而解。

衡阳市一中）