国家教师资格考试高中数学学科知识题研究：基于2012-2015年7套真题的分析

陈 莹 郭玉峰

(北京师范大学数学科学学院 100875)

1 引言

我国中小学教师资格考试经历了从无到有、从省考到国考的变化.2011年湖北、浙江两省首先试行国家教师资格考试(下称“国考”),现已基本全面推行.实行国考，可以克服长期以来教师资格准入标准的不一致问题，优化教师队伍结构，标志着我国教师的专业化进程迈向新的起点，在中国教师教育发展中具有里程碑意义.

此次教师资格认定改革，在考核目的、考核框架、考核内容等有较大变化，突出一点是新增学科知识与学科教学实践知识的考查，提高教师入职门槛.以数学学科为例，考试大纲中要求考查数学学科知识、课程知识、教学知识、教学技能四个模块的内容，满分150分，体现专业化导向、能力导向和实践导向的考查目标.数学学科知识是考察教师专业化水平的重要载体，对其考查应依据相应的考试大纲标准，体现考生必备的数学基本知识，并据此选拔合格的入职数学教师.目前已有的试题情况如何？有关数学学科知识的考查是否与相应的考试大纲标准相一致？能否体现大纲中的专业化导向？这涉及考试评价与标准间的一致性问题.

评价与标准的一致性研究并非一个新话题，源于美国基于课程标准的教育改革活动，通过近20年的发展，积累了丰富经验，成功研制的“Webb”(韦伯)和“SEC”(Surveys of Enacted Curriculum)等分析范式相对比较成熟，在国际上得到广泛的认可.国内很多学者借鉴并本土化这些分析范式，但多用于课程标准、学业水平测试、课后习题等两两之间的一致性研究中，考试大纲与试题评价的一致性分析较少.

基于以上背景，本文尝试借助SEC一致性分析范式，选取已推行的7套真题，对具体数学学科知识考题，量化分析数学学科知识题与考试大纲标准的一致性，以期完善国家教师资格考试大纲标准，科学分析已有的试题，推动国家教师资格考试的研究和进展.

2 概念界定与研究方法

讨论数学学科知识题与考试大纲标准之间的一致性关系，首先应明确数学专业教师需掌握的数学学科知识是什么，该怎么衡量标准与评价的一致性，学者对于数学学科知识的定义不一，这部分将给出本文中数学学科知识的定义，并介绍一致性的定义和SEC一致性研究方法.

2.1 数学学科知识含义与一致性定义

Shulman首先提出学科教学知识(Pedagogical Content Knowledge简称PCK)的概念，认为[1]“学科知识”是“所教学科内容的专门知识”，“学科教学知识”是如何把某一特定的课题、问题进行组织以适应不同能力学习者学习的知识，是内容知识与教学知识的结合.也有诸如“科学数学知识、学校数学知识、学校数学哲学、一般教育学”或“心理学知识、特定题材内容的教学知识或数学的知识，数学表达的知识，关于学生的知识，关于教学法的一般知识”的分类； 国内相关研究提到一些具体方面，认为 “数学学科知识是数学概念、过程、相互间联系、对学生错误类型的理解以及课程的表述”，主张 “数学学科知识以数学核心概念为主线，灵活伸缩拓展，并以网状形式存在”，强调“数学教师的学科知识水平是教师对数学核心概念的把握程度”，解释对数学知识“深刻理解”，即对数学知识的广度，深度与贯通度的把握.

研究者结论不尽相同，本研究中，将数学学科知识界定为数学学科内容知识、数学思想方法以及数学学科内容知识之间的相互联系.数学教师必须理解掌握数学核心概念、运算、定理等，熟悉数学基本思想的应用，并具有将这些知识连点成线，连线成面的能力.

一致性即为英文单词“Alignment”，韦伯将其界定为：教育系统中各构成要素能够互相匹配至期待目标的程度，一致性分析范式是指判断、分析某一体系中各个要素之间吻合程度的理念、程序与方法的总和[2].我国学者借鉴过程中也提出对一致性的理解，一般认为是教育系统各要素之间的有效匹配或吻合程度.本文中一致性即指在国家教师考试评价系统中试题与大纲标准的匹配程度.

2.2 研究方法

(1)SEC一致性测量

波特认为衡量一致性重要的是知识内容和深度这两个维度，他吸收并重新整理韦伯的理论，建构了“内容主题×认知水平”二维矩阵的分析模式，即SEC分析模式.

研究者首先确定内容主题和认识水平的分类，后对考试大纲标准和试题统计分析，分别赋值编码到“内容主题×认知水平”的二维矩阵中，记为矩阵X与矩阵Y，以两个矩阵中的赋值为依据计算彼此间的一致性.为使矩阵具有两两可比较性，赋值后需对单元格赋值进行标准化处理，令同一矩阵中所有单元格内的赋值转化为总和为1的比率值.波特等研究者验证了不同的一致性系数方法，得到了研究者认可并行之有效的一致性系数计算公式[3]，[4].

n表示矩阵(表格)的单元格数目，i表示某一个单元格，1

SEC分析的主要指导思想是建立描述内容的同一语言(二维矩阵框架)，从而使一致性分析成为可能，对于标准和评价是分别独立按照二维内容矩阵编码的，任何给定的文件，只要二维矩阵框架是确定的且框架中的分类在标准与评价中存在，就可以编码，包容性更强，使得它的研究范围扩大，比韦伯给出的模式更具操作性，还能够给出定量的分析结果[5].

(2)研究对象

研究对象为2012-2015年7套国考数学学科知识与能力试题，基于前文对数学学科知识的定义，实际本研究只涉及每套试卷中第1—6、7(8)、 9—11、14题.

选取的这些试卷为实施国家教师资格统一考试后，至2016年为止最新的几套试题，其综合情况在一定程度上可以反应改革后试题命制的总体现状.

(3)研究过程

(i)内容主题与认知水平分类

根据《数学学科知识与教学能力》(高级中学)考试大纲对数学学科知识内容模块要求，笔者将涉及的学科知识分为20个主题，可见下文编码中的表1；对认知水平的分类，参考课程标准与考试大纲中对知识水平的要求，划分为3个层次:了解、理解和掌握.

构建成“内容主题×认知水平”的“20×3”的二维表格(表1).

(ii)内容主题与认知水平编码赋值

考试大纲 “数学学科知识”二维矩阵赋值：对于20个主题对应的内容，例如极限与连续性，结合大纲，细化该主题下知识内容，分解为极限的定义、性质、计算、连续性定义、连续性性质等的单一知识点的细目，以大纲行为动词为依据，判断其每单一知识点要求达到的认知水平.分别统计属于了解，理解，掌握的知识点数目，知识点数目即编码值.对考试大纲赋值结果如下，得到120个知识点数目.

上述统计过程中，部分知识点细目在考试大纲中要求不具体，这时赋值的依据是大学课程中对该知识点要求把握程度及其与中学数学课程的关联程度，客观反映事实.

表1 考试大纲内容标准编码结果(未标准化)

对试卷的二维矩阵赋值，需确定每个题目考查知识点、认知水平及所占分值.对试题知识点归类所属内容主题，并以分值代表知识点数目.对于选择题，分析题干和选项确定知识点，后确定考生完成作答需达到的认知水平和分值.对于简答题与解答题，依据标准答案确定解题步骤、知识点、相应分值及考生完成作答需要达到的认知水平.以2015下半年真题为例，如下：

表2 2015下半年实际数学学科知识题编码结果(标准化)

这些编码方法具有一定的主观性，但研究目的只是借波特一致性系数以说明标准与试卷a的一致性是否比试卷b好，编码标准是一致的，能降低影响，当然如果有更多的人参与到编码中，可以降低主观性.

(iii)考试大纲内容标准与数学学科知识题一致性系数(P值)的求解

在前述工作完成基础上，将表格数据录入Excel表格，利用matlab编辑一致性公式，计算每张试卷与考试大纲内容标准的一致性系数.

表3 数学学科知识题与考试大纲内容标准间的波特一致性系数

(iv)求解具有统计显著性意义的P值

我们得到了数学学科知识题与考试大纲内容标准的一致性系数，但当波特一致性系数达到什么范围，我们才能在统计意义上判断两个矩阵是否具有显著的一致性？为解决这个问题，学习美国学者Gavin W.Fulmer的做法[4]，利用matlab软件里的randi，accumarray，reshape，这三个函数，将120个考试大纲标准内容随机赋值到一个20×3的矩阵中，将数学学科知识题总分随机赋值到另一个20×3矩阵中，标准化处理两个矩阵，依据公式计算出P值，重复20000次，得到波特一致性系数(P)的正态分布，相关数据见下表.

表4 历年显著性P值

在这7个正态分布曲线下，要达到95%置信度的统计显著性，2015下半年试卷，需要P大于等于0.6095；2015上半年试卷，需要P大于等于0.6156；以此类推其他年份情况.

(v)绘制条形图，进一步比较分析

由于波特一致性系数只是给出了总体的一致性比较，为了分别在内容主题维度和认知层次维度上对大纲标准和7套试卷中的数学学科知识题进行比较，研究者在下文将矩阵的数据信息，绘制为条状图，从而在图中可以清晰的看出被研究者在内容上的侧重主题与认知上的侧重水平，呈现更为明确的信息.

3 研究结果与原因分析

本部分从试题知识点分布的基本描述，知识点分布一致性系数比较，知识点内容主题分布比较，知识点认知水平分布比较四个方面，说明国家教师资格考试数学学科知识题与大纲标准之间的一致性.

3.1 数学学科知识题知识点分布基本描述

数学学科具有思维的高度抽象性，逻辑严密性等突出特点，考试大纲以体现数学学科特点为前提，要求考试内容包括大学本科数学专业基础课程知识与高中数学知识，包括数学分析，高等代数，解析几何，概率论与数理统计及高中新课标中所规定的必修课全部内容，全面考察相关知识点.

对试题的知识点分布明细统计可反映命题决策者对考试大纲标准的理解和判断.实际对7套真题中知识点分布明细统计，发现：

(1)基础考点多，重视大学本科数学常用知识点

7套试卷知识点来源于高等数学专业知识与高中数学知识，包括极限，一元函数微积分，级数收敛，矩阵及其变换，概率与统计，空间直线方程，平面方程，曲线方程，简易逻辑，算法框图，数列，函数等等.重视大学本科数学专业知识，考察最基本、常用知识点、性质及其相关定理的应用，仅考查中学数学知识点的题目少；若仅考查中学知识点，一般为概率与统计模块，利用分类加法与分步乘法原理确定随机事件的概率，且题目载体相似.

(2)对大学数学与高中数学知识点之间联系考查较少

试题对知识点间联系的考查不足，且考查倾向于横向知识的联系上，对知识点的纵向联系考查更少，缺少对关键知识点的来龙去脉及其中隐含的数学基本思想方法的关注.陈晨对2012年的试卷进行统计，发现主观题(9-14题)中关于学科内容间联系的知识，占全部试题比例为0%[6].通过明细统计，这个现象不仅仅存在于2012年的试卷中，2013年两套试卷以及2014上半年试卷中主观题中关于学科内容间联系的知识比例也为0%.

3.2 一致性系数比较

笔者计算出的七份试题与考试大纲标准之间的波特一致性系数以及95%水平参考值.结果如表5所示：

表5 p值与95%水平p参考值的对比

7套真题，其波特一致性系数都明显低于相应的95%水平的参考值，说明真题中数学学科知识题与考试大纲内容标准之间不存在统计学意义上的显著一致性.但自2014年之后，波特一致性系数相对提高，侧面说明改革正朝着积极的方向前进.

3.3 内容主题分布的比较

内容主题维度上对考试大纲内容标准与7份试卷进行比较结果如图1所示.

图1 考试大纲内容标准与7套真题内容主题分布的比较

考试大纲内容标准对各模块要求均衡，对本科数学专业基础课程的知识点着墨更多，几套试卷也突出对高等数学知识点的考察，但至具体知识点，有所差异.即体现两个方面：(1)对于“极限与连续性”、“矩阵及其变换”、“概率与统计”内容主题，试卷考察与大纲标准的要求基本吻合(2)试卷 “导数微分积分”、“计数原理”等内容主题所占比例高于考试大纲的要求，意味试题强化了对这些主题的考察，同时弱化对“多项式”、“行列式”、“欧氏空间”等内容主题的考察.

导数与微分蕴含变化率的思想，是研究初等函数的一个重要工具，高中数学课程改革的一个方面是将高等数学的部分内容放在中学中，其中包含了“函数极限、微积分、空间向量等众多知识点”，数学教师资格考试对这部分多加青睐的原因是有迹可循的.

不过，不可否认，考试时间有限，题目数量有限，分值有限，这使得编码赋值所得到的数据离散，这也成为一致性系数偏低的不可忽略的原因.

3.4 认知水平分布的比较

认知水平维度上对考试大纲内容标准与7套试卷进行比较如图2所示.

图2 考试大纲内容标准与7套真题认知水平的比较

观察图2，大纲标准中，以理解与掌握为主要认知要求，其次是了解.一名中学教师，必须对每一个知识点有深刻体会，能理解每个知识点背后的数学思想和方法，而不是一知半解，符合常规认识.7张试卷同样侧重理解与掌握这两个认知水平，甚至几年试卷中理解与掌握的知识点比重较大纲标准更高.据此说明，这些试卷对考生的认知要求不低于考试大纲标准的要求，符合教师国考作为“选拔性考试”的功能——选拔出具有高专业素养的教师，侧面证实教师国考的难度与权威性.

4 研究结论与建议

一致性研究以量化的方式分析考纲和试卷之间的匹配程度，并以此来讨论教师资格考试改革的可能前进方向，以及制度和命题决策者应该如何修正并协调考纲和试题.

4.1 结论

研究结果表明:2012—2015这4年国家教师资格考试试卷在内容主题分布、认知水平分布方面相对稳定，与考试大纲标准的一致性系数均低于参考值，即试卷数学学科知识题和考试大纲标准不存在统计意义上的显著一致性.具体来说：

在内容主题分布上，基础考点众多，分布取舍上有偏重，历年重点考查“极限与连续性”、“矩阵及其变换”、“概率与统计”这几个主题，并强化对“导数微分积分”、“计数原理”的考查，弱化对“多项式”、“行列式”、“欧氏空间”等的考查.对大学数学专业知识与高中数学知识的联系关注不足，缺乏对知识点贯通度的考查，部分命题有模式化的趋势.

在认知水平分布上，7套试卷对“掌握”这一较高水平的考查要高于考纲中对该认知水平的要求，对考生的认知要求不低于考试大纲，充分体现了教师国考作为“选拔性考试”的任务与使命，证实教师国考的难度与权威性.

4.2 讨论建议

本研究重点在试卷层面，总体来说，试卷和考试大纲一致性程度不够高，基于考试大纲标准进行命题，才能保证国家教师资格考试更好的发挥国考的导向作用.研究希望为参与国家教师资格考试的人员(考生、命题者、决策者)及今后的相关决策提供参考依据.

(1)考生需自我提高

试卷中的内容分布将影响考生的复习安排，并提高考生对教师这一行业专业性的认识：诸如高中毕业即当初中教师，初中毕业即当小学老师的现象将不再存在.试卷中强调理解与掌握，将有力提高初入职教师的专业化水平，对有志于从事教师行业的考生的自我认识的改变上有正面的影响.在复习的时候需要注意从记忆到理解的转化，领悟各门数学专业课程的精髓，体现自身数学素养.

(2)考纲和命题合理性需思考

就认知水平层面而言，命题对知识的理解深度的强化倾向是让人高兴的事情，但总体上，考试大纲与实际试题间并不存在统计意义下的显著一致性，现有的考试大纲是否符合时代对于数学学科专业的要求？命题决策者在内容主题层面上对于大纲的把握力度是否合理？期待试卷框架的决策者和命题人员给予必要的重视，可从以下两方面考虑：

一是关于考试大纲的科学性.实现“基于大纲标准的评价”，首先需保证大纲是具体而科学的.只有考试大纲规定内容领域是具体的，清晰的，评价目标才能是明确的，命题者才能根据大纲科学的编制试题.现行的考试大纲还不完善，对很多内容的考察目标不清晰.同时，常言道与时俱进，对于教师专业化的评价是变化的，考试大纲年年相似，制定更符合时代发展需要的标准是必须的.

二是在命题时，应加强对知识广度和贯通度的考查，增加考试的灵活度.举例来说，可以考虑初等数学中的数系、方程和不等式、函数等相关内容在高等代数、数学分析中的延伸；初等几何中欧氏几何体系在高等数学，如解析几何、微分几何、拓扑等内容的拓展[7]等，适当调整一些知识点所占比例，规避相似，如此选拔出高素养的人才，而非某种程度上记忆或者背诵的“高手”.

(3)讨论

目前，国家教师资格考试整体框架初步形成，一致性是反映国家教师资格考试(数学学科)大纲是否落实，教师资格改革是否有效推进的一个量化参考指标，如果得到命题人员和考试管理部门的重视，那将是一个有力证据.

但是应该说明的是，本研究利用该一致性方法便于以量化的方式从统计学的角度分析考查框架及存在问题，结果只具有参考价值，并不是旨在说明哪些试卷是“好的”，哪些试卷是“差的”，也不是追究哪个“出的错”.一致性也只是试卷质量分析的一个视角，并不能代表对国家教师资格考试的全部评价.在研究过程中，考试大纲标准中对于某些知识点的划分过于笼统，以至分析试卷中对于试卷的内容主题和认识水平的分类编码具有一定的主观性.不同的分析者对同一题目所考查认知水平的确定，受分析者经验和水平的影响而有所差异.