对一个数学问题的推广探究

储百六

(安徽省岳西中学 246600)

1 引言

《数学通报》2016年第11期上刊登的2332号问题，笔者通过研究发现该不等式不仅可以推广到一般情况，还可以类比得出很多有意思的不等式，先整理如下.

数学通报第2332号问题：

已知a,b,c,d>0,且abcd=1，求证：

2 问题的推广

2.1 在探讨之前先证两个引理

引理1若ai>0(i=1,2…,k),n≥m≥0，则

证明不妨设a1≤a2≤…≤ak，则有

由Chebyshev不等式可得

引理2若ai>0(i=1,2…,k),∏ai≥1,i=1,2，…,k,n≥m≥0，则

可由引理1和均值不等式易得.

2.2 问题的推广

定理1设ai>0,且∏ai≥1,i=1,2，…,k(k≥3,k∈N),n>m且n>-(k-1)m,

证明先待定指数r，由引理1和均值不等式可得

上式成立只需n>r>0，

显然n>r>0,于是有

①

类似可得其他式子.所以

证毕.

注1.当k=4,m=0,n=1时，即为数学通报第2332号问题.

2.当k=3,m=0,n=1时，该不等式为2000年澳门地区数学奥林匹克竞赛试题.

3.当k=3,m=-1,n=5时，该不等式为1996年IMO试题.

推论设ai>0,且∏ai≥1,i=1,2，…,k(k≥3,k∈N),n≥m≥s≥0,

证明由定理1证明中的①式可得

所以

上式最后一步是由引理2推出，

类比定理1可得：

(2)管线埋设于地下，处于隐蔽状态，为确定位置可用管线探测仪、雷达等多种探测方法。目前，业内开始借助潜望镜进行管线探测。潜望镜主要用于井、涵洞，以及暗沟暗区管线探测，在不需人员进入的情况下可以直观观察到内部构造和线路情况，同时也保证了人员下井的安全。潜望镜在排水管线专业中可更好地发挥探测作用，而且还可以直观查看排水管线的内部构造和淤积堵塞情况，为排水管线的隐患排查显示出更大的作用。

定理2设ai>0,且∏ai≥1,i=1,2，…,k(k≥3,k∈N),0≤m

证明先待定指数r，由引理1和均值不等式可得

上式成立只需r>m>0，

于是有

②

所以

证毕.

注当m=0,n=1时，可得：

从上述证明中的②式，由引理1还可将定理2推广为：

推广1设ai>0,且∏ai≥1,i=1,2，…,k(k≥3,k∈N),0≤m

证明由②式可得

推广2设ai>0,且∏ai≥1,i=1,2，…,k(k≥3,k∈N),0≤m

证明将②式两边p次方可得

于是由幂平均不等式可得