关于三角形中线与角平分线的两个新不等式

胡文生

(江西省九江市德安磨溪中学 330400)

本文将建立两个不等式，首先给出第一个不等式

(1)

为了叙述方便，我们约定：a，b，c，ma，mb，mc，la，lb，lc，s，R，r分别表示△ABC的三边长，三条中线长，三条角平分线长，半周长，外接圆、内切圆半径．

下面给出(1)式的证明．

(1)式的证明

同理

(2)

于是(1)式得证．

下面我们再给出关于角平分线的又一个不等式

(3)

证明由(2)式和均值不等式可得

(4)

由已知恒等式a2+b2+c2=2s2-8Rr-2r2，abc=4sRr及欧拉不等式可将(4)式变为

从而不等式(3)得证，当且仅当△ABC是正三角形时取等号.

利用上述方法和凸函数的性质，易得