抛物线内接三角形形状探究

2017-12-24陈子琪

数学通报 2017年7期

陈子琪

(北京理工大学附中 100081)

抛物线是一类特殊的曲线，在平面直角坐标系中，二次函数的图像都是抛物线．抛物线和三角形都是非常重要的几何图形，我们知道在抛物线上任取三个点都能构成三角形．那如何快速判断三角形的形状？本文根据上面的问题，对抛物线内接三角形进行探究．为了方便，本文只讨论形如y=ax2+bx+c(a>0)的抛物线．

1 抛物线内接三角形的基本讨论

下面，引入三角形角的形状和边长的关系判别式．

图1

三角形ABC如图1所示，三角形的顶点为A、B和C，三条边分别为AB、AC和BC，记作△ABC．

在△ABC中，角A为锐角当且仅当|AB|2+|AC|2-|BC|2>0；A为直角当且仅当|AB|2+|AC|2-|BC|2=0；A为钝角当且仅当|AB|2+|AC|2-|BC|2<0[1]．其中，|AB|、|AC|和|BC|分别表示边AB、AC和BC的长度．

角B、C的判定方式和角A类似，根据角A、B、C的形状就可以得到△ABC的形状．

在抛物线y=ax2+bx+c中，最简单的形式是y=ax2，因此首先讨论抛物线y=ax2内接三角形的形状．

2 y=ax2内接三角形形状探究

图2

由勾股定理得

利用上面的等式，求得

|AB|2+|AC|2-|BC|2

=2[1+a2(x1+x2)(x1+x3)](x1-x2)(x1-x3)，

类似地，可以求得

|AB|2+|BC|2-|AC|2

=2[1+a2(x2+x1)(x2+x3)](x2-x1)(x2-x3)，

|AC|2+|BC|2-|AB|2

=2[1+a2(x3+x1)(x3+x2)](x3-x1)(x3-x2)．

由于x1>x2>x3，因此

λA·(|AB|2+|AC|2-|BC|2)≥0，

λB·(|AB|2+|BC|2-|AC|2)≤0，

λC·(|AC|2+|BC|2-|AB|2)≥0．

因此，△ABC为锐角三角形当且仅当λA>0,λB<0且λC>0．

△ABC为直角三角形且A为直角时当且仅当λA=0,λB<0且λC>0．当B或C为直角时，可以得到相似的结论．

△ABC为钝角三角形且A为钝角当且仅当λA<0,λB<0且λC>0．当B或C为钝角时，可以得到相似的结论．

为了叙述方便，当一个三角形是直角或钝角三角形时，称它的直角或钝角为特殊角．我们引入下面的sgn函数：

由上面的讨论和定义，可以得到下面三角形形状判定的定理．

定理1记R=sgn(λA)sgn(λB)sgn(λC)，

则当R<0时，△ABC为锐角三角形；当R=0时，△ABC为直角三角形；当R>0时，△ABC为钝角三角形．并且，若三角形为直角或者钝角三角形时，若λA≤0，特殊角为A；若λB≥0，特殊角为B；若λC≤0，特殊角为C．

证明当R<0时，若λA<0，则λBλC>0，则角B或角C中有一个为钝角，但角A也是钝角，这在三角形中不可能成立，由命题1，抛物线上任意不同三点都构成三角形，故λA>0；若λB>0，则λC<0，也出现两个钝角，故只能λA>0,λB<0且λC>0．由上面的讨论，△ABC为锐角三角形．

同理，当R=0时，△ABC为直角三角形；当R>0时，△ABC为钝角三角形．

根据λA、λB和λC与第一节三角形角的判别方法的关系，很容易得到它们和角的形状之间的关系．

证毕.

因此，在判定简单形式抛物线上内接三角形形状时，只需计算λA、λB和λC的值，而且只关心这个值与0的关系，这个值只与三角形顶点的横坐标和抛物线系数有关．利用这个关系式不需要求出各定点的纵坐标值，也不需要计算边长．因此，比第一节提到的三角形形状判别式简单．下面通过进一步讨论，化简这个判别式．

3 y=ax2内接三角形形状的进一步讨论

由上一节的讨论，三角形形状仅与λA、λB和λC三个值相关．

令z1=x1+x2，z2=x1+x3，z3=x2+x3，则

由于x1>x2>x3，可得z1>z2>z3．

在△ABC中，当z2>0时，由z1>z2>z3得z1>z2>0，因此λA>0，故A一定是锐角；当z2=0时，得λA>0和λC>0，故A和C一定是锐角．当z2<0时，C一定是锐角．而且，当△ABC不是锐角三角形时，若λB≥0，则角B一定是特殊角．

经过上面的讨论，可以得到下面的定理：

定理2记

S=sgn(T)·sgn(λB)，

则当S<0时，△ABC为锐角三角形；S=0时，△ABC为直角三角形；S>0时，△ABC为钝角三角形．而且，当λB≥0时，B是特殊角，否则当z2>0时，C是特殊角；当z2<0时，A是特殊角．

证明当S<0时，若λB>0，则T<0成立．则z2≠0，否则T>0；若z2>0，min{0,z2}=0，max{0,z2}=z2，故T=λC，从而λC<0，但是λB>0，可得角B和角C都是钝角，由三角形最多只有一个钝角，这就产生矛盾；类似的，当z2<0时，角A和角B都是钝角，也产生矛盾．因此λB<0，即角B只能是锐角，故T>0，对z2正负进行上面类似的讨论，可以得到λA>0和λC>0．因此，当S<0时，△ABC为锐角三角形．

类似的方法，可以得到S=0时，△ABC为直角三角形；S>0时，△ABC为钝角三角形．

当△ABC不是锐角三角形时，若判定△ABC的一个角是直角或钝角，那么这个角就是该三角形的特殊角．这是因为△ABC最多有一个特殊角．当λB≥0时，B是△ABC的直角或钝角，故△ABC的特殊角为B；否则，B一定不是特殊角，当z2>0时，A是锐角，故C是特殊角；类似的，当z2<0时，A是特殊角．

证毕.

上述定理说明，当判定三角形形状时，首先比较x1+x3与0的大小，然后进行计算，可以少计算判别式λA、λB和λC中的一个值．这减少了计算量，因为与0的比较是容易的，但是当两个数太大相乘计算起来比较麻烦．

4 y=ax2+bx+c上内接三角形形状探究

由于平移前后三角形顶点坐标相对位置不变，因此平移前后三角形边长相等，即平移前后三角形形状相同．

设△A′B′C′随着抛物线化为简单形式的平移得到△A″B″C″，顶点A′、B′和C′平移后分别对应顶点为A″、B″和C″，其对应的横坐标为

此时△A″B″C″为简单形式抛物线上的三角形，而且三角形随着抛物线的平移不改变形状，所以可以用判别式R或者S判断三角形的形状．

5 抛物线内接三角形判定的例子

本节采用一个例子说明使用判别式R和S判定抛物线内接三角形形状的优点．

例1设抛物线方程为y=3x2+5x+7，

求横坐标分别为11、9和-3三点构成的三角形形状．

解设点A横坐标为11，点B横坐标为9，点C横坐标为-3．

1)使用原方法判别

将A、B和C的横坐标带入抛线方程，求得

yA=3×112+5×11+7=425，

yB=3×92+5×9+7=295，

yC=3×(-3)2+5×(-3)+7=19．

因此

|AB|2=(11-9)2+(425-295)2=16904，

|AC|2=(11+3)2+(425-19)2=165032，

|BC|2=(9+3)2+(295-19)2=76320．

因此

|AB|2+|AC|2-|BC|2

=16904+165032-76320>0，

|AB|2+|BC|2-|AC|2

=16904+76320-165032<0，

|AC|2+|BC|2-|AB|2

=165032+76320-16904>0．

因此，三角形为钝角三角形，角B为钝角．

2)使用判别式R

故λA>0，λB>0和λC>0．因此，三角形为钝角三角形，角B为钝角．

3)使用判别式S

故λB>0和λC>0．因此，三角形为钝角三角形，角B为钝角．

从上面的例子可以看出，在判定抛物线内接三角形形状时，采用判别式R和S比原方法简单，而且，判别式S比R的计算更加简单．虽然上述例子是对具体的抛物线和抛物线的点，但是由于判别式R和S适用于任何抛物线的内接三角形形状判定，因此，对任意的抛物线上任意不同的三点构成的三角形，都可以采用上述流程判定．也就是说，对任意的抛物线内接三角形形状判定，判别式R和S比原方法计算简单，而且，判别式S比R的计算更加简单．