课本例题的理解与教学①

2017-12-24渠东剑

数学通报 2017年5期

渠东剑

(南京市秦淮区教师发展中心南京市高中数学渠东剑工作室 210002)

课本，一定意义下是课程标准的具体化，是教师教、学生学的最权威媒体，是教学研究、教学评价与各类考试命题的重要依据.课本的编写，是众多专家智慧的结晶，并经过了教学实践的检验，而不断优化与发展起来的.在教学实践中，课本理应得到高度重视.如果说教学要“用教材教，而不是教教材”，那么首先要“用”课本，用好课本，而用好课本的前提是理解课本，尊重课本.

例题，是数学课本的重要组成部分；例题教学，是数学教学的重要内容.按现代汉语词曲，例，用来帮助说明或证明某种情况或说法的事物.数学课本例题，则是以题目(含解题过程)的形式，进一步诠释教学内容、深化知识应用与理解、突出分析问题与解决问题的过程与方法、示范解题过程的书写.课本例题具有基础性、典型性与发展性：例题往往是初学知识的“第一次”应用，是解决相关问题的开始，故一般难度不大，适宜学生学习；在寸土寸金的课本中，例题占有一席之地，其选择一定是精挑细选的、典型的与必要的，随后的练习题等大都有例题的影子，让学生的解题从模仿开始，一定意义下、一定程度地降低了客观存在的学习难度；课本例题一般具有丰富的内涵，因而具有发展性，例如，一些例题常被称作“母题”，由此变式引申拓展，去解决一类问题，几乎每一套高考试卷，均有较大数量的题目来自课本例、习题的组合、改编，绝大多数题目都可以在课本例题中找到它的影子.所以，高度重视、深刻理解、认真研究课本例题，并在实践中努力教好课本例题，是数学教学的必然要求.重视课本必须重视课本例题，用课本教就要用好课本例题；重视课本例题就是重视课本，就是在“用课本教”.

然而，环顾当下的高中数学教学，不重视课本、甚至远离课本已成为普遍现象.无论是新授课教学，还是高考复习教学，一些教师对课本例题不屑一顾，认为其“基本”、“平常”、“单调”，对课本例题教学敷衍了事，甚至置之不理.尤其是时下导学案教学风靡一时，愈演愈烈，其中可能出现了背离教学规律的现象：教学设计服从于解题教学，解题教学追求题型模式，题型模式追求“高、大、上”——忽视学生学习的基本现实，肆意拔高教学要求，执意强调题型全面，变式与拓展脱离实际，使学生的学习无法落地生根，……学生的学习深一脚浅一脚，教师的教学失去了定盘星.

有鉴于此，笔者选择苏教版教材上的一些典型例题为例，试图去理解题目内涵，揣摩编者用意，挖掘题目价值，探索教学实践，……思考例题教学的应有之义，以期抛砖引玉，使课本例题的教学回到其应有的、重要的位置上来.

1 从学生认知视角理解课本例题

苏教版必修1—1第三章“导数及其应用”，第3.3节“导数在研究函数中的应用”.在3.3.1 “单调性”中，给出“导数与单调性的关系”的结论之后就是例题1：

确定函数f(x)=x2-4x+3在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数；

在3.3.2“最大值与最小值”中，给出“求最大值与最小值的步骤”之后，接下来就是例题，其中第1道题是：

求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1,4]上的最大值与最小值.

这两道例题所研究的对象，是学生再熟悉不过的二次函数，所要解决的问题(单调性、最大值与最小值)早已为学生所掌握，而且从初中到高中不止一次地研究过，可以说这两道题所要研究的问题，对学生而言是已经解决的问题，似乎在这里再出现已无必要.正因为如此，一些教师、甚至一些学生对此有所不屑，教学要么一带而过，要么弃之不用.然而，将题目放在例1的位置，明明是要突出其重要性的.那么，编者为什么要这样安排呢？

其实，这要从学生认知发展的角度去理解.学生刚刚学习的新知识，其认识是肤浅的，认知结构是不稳固的，尚缺乏心理认可.特别是，这里的单调性、最大值与最小值问题，研究的方法变了，结论的形式是新的.面对新旧认知的矛盾与冲突，学生难免会产生一些疑惑.例如，此单调性与彼单调性、此最值与彼最值相同吗？若相同，为何对已研究过的问题还要重新研究？这里的结论可信吗？……按建构主义理论，学生学习建构新知识，要基于已有认知结构，打破已有的认知结构，将新知识纳入到已有的认知结构中去.具体到这里，就需要打通单调性与最值新旧知识之间的联系，用已有的知识去理解新知识，并建立新旧知识间的联系，实现认知的发展.此时，借用学生所熟悉的简单的二次函数作为载体，用刚刚得到的结论去研究其单调性与最值，自然会与原有的认知相互印证，从而达到心理认可，产生积极的学习效果.

因此，用联系的观点、比较的方法去教好这两道“简单题”，让学生“起好步”，是必要的、不可跳过的一步.如果我们借口题目简单，且属于已经解决了的问题，将其舍弃，直接进入较为复杂的例题教学，例如，选择一些非用导数不能解决单调性或最值问题的函数，则可能打破认知的连续性，违反了循序渐进的认知规律.

当然，基于这样的认知起点，实现认知的循序渐进，还在于认知的深化与发展.例如，课本紧接着上面的两例，各自给出相应的例2，对象为三次函数，即分别研究三次函数的单调性与最值问题.而三次函数就没有了上述已有的认知基础，相对学生而言是陌生的，相对于问题的解决，已有的知识与方法不能解决新的问题了，怎么办？矛盾的冲突自然开启“非用导数不可”的话题.而这个新的方法则是刚刚学过的、为已有认知所检验过的、深信不疑的.这正是认知的自然发展、学习新知识的动力所在.从这一点看，编者这样的安排，由浅入深，自然而然，确是匠心独运的了.

2 从整体结构视角理解课本例题

苏教版必修4第一章“三角函数”第1.4节“三角函数的应用”，课本给出2道例题和一个探究案例，其中例2是：

一半径为3m的水轮如图1所示，水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.

(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；

(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？

图1

按照本节标题分析该例题的教学，似乎主要是体现“三角函数的应用”，具体地，就是正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的应用，教学也应围绕如何“用”知识解决实际问题去展开.其实不尽然.

首先，函数y=Asin(ωx+φ)是描述较为复杂周期现象的数学模型：从函数关系分析，可以认为是由正弦函数、一次函数复合而成的函数；从几何背景观察，相对于点(cosα,sinα)刻画单位圆上质点的匀速运动(角速度为1，从点A(1,0)出发)而言，可以刻画更为一般的圆周运动(半径A≠1，角速度ω≠1，可以从一般位置出发)；从生活背景理解，富有丰富的现实意义，例如刻画潮汐现象的函数y=Asin(ωx+φ)+K，其中的A,ω,φ,K都有明确的现实意义.因此，研究函数y=Asin(ωx+φ)的性质，自然要明白它的来龙去脉.

其次，围绕函数y=Asin(ωx+φ)知识的发展线索，我们整体把握课本组织结构：以“摩天轮情境”引入课题，建立三角函数的概念，在研究函数y=sinx,y=cosx的图象与性质时，偶有涉及正弦型函数，主要是“五点法”作图、换元法求其单调区间与最值，等；尔后，专门用一节的篇幅研究了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，不过用“告知”的方式交代了该函数的生活、物理与工程等背景，故而这个函数怎么来的，为什么会是这种形式，似乎还缺乏应补的一课.

第三，从课程标准“内容与要求”分析.课程标准相关“内容与要求”是：“结合具体事例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义……会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是周期现象的重要函数模型.”笔者认为，具体到该例题的教学，应从以下几个方面去把握：例题教学就是“结合具体事例”的绝好机会，而且就整体把握教材而言是最后的机会了；问题的解决过程，正是“用三角函数解决一些简单实际问题”的过程；例题的教学过程，既是用三角函数解决实际问题，是在教学生“会用……”，又是通过解决问题的建模过程，达到 “结合具体事例，了解……”的目的.学习数学模型的最好方法是亲身经历建立模型的过程，让学生从实际背景出发，将实际问题抽象为数学问题，并围绕数学问题的解决，去经历一系列探究活动过程：怎样想到建立坐标系的，如何建立坐标系，并联系回顾周期概念……就显得十分重要.至于三角函数的应用，自然融合在上述过程中了.

第四，立足于学生能力的发展，该例题的教学，必然要突出建立数学模型的全过程，体现解决现实问题的一般方法，促进学生分析问题与解决问题的提高.即从审题开始，将现实问题抽象为数学问题，建立数学模型，解决数学问题(数学模型)，回应回答现实问题.这样的过程，既要让学生亲历亲为，又要在“小结与拓展”阶段，启发引导学生去感悟、总结，以期达到对知识的再回顾，对函数y=Asin(ωx+φ)的再建构，对研究方法认识的再深化.

基于上述分析，我们对该例题的教学就不那么茫然、轻率了.相反，该例题的教学要承载更多的内涵，教学具有挑战性，也将大有可为.

3 从思想方法视角理解课本例题

苏教版必修5第三章“不等式”第3.2节“一元二次不等式”，课本首先以具体的一元二次不等式的例子，利用数形结合方法，借助于一元二次函数图象，探究出解一元二次不等式的一般步骤：第一步，解方程；第二步，画出抛物线的草图；第三步，观察图象，得不等式的解集.紧随其后，给出例1：

解下列不等式：

(1)x2-7x+12>0； (2)-x2-2x+3≥0；

(3)x2-2x+1<0； (4)x2-2x+2>0 .

其后的解题示范过程就是重复上述的解一元二次不等式的步骤.

这组不等式是较为简单的，也是学生所熟悉的.虽然此前没有课本相关章节去专题解决这类问题，但是，就求解这类不等式问题来说，学生可能并无困难.他们在“二次函数”、“集合”、“函数”等有关内容学习过程中，已多次遇到这类不等式，也掌握了因式分解、画图象观察等解题方法.那么，怎样认识这些简单的问题出现在这里，特别是在第一个例题的位置，且其解法一成不变地重复上述步骤呢？

首先，这几个问题虽然简单，但类型各异：二次项系数有正有负，不等号有大于(大于或等于)有小于，其判别式有正有负……但其解法都可以利用本课伊始探究的一般步骤.因而这个一般步骤具有一般的“算法”的特点，具有较强的可操作性，是学生应该掌握的.

其次，更为重要的，该解题步骤突出了函数、方程与不等式的数学思想：解不等式——解方程——画函数图象，这分明是将不等式的研究统一到函数的大背景下，即将不等式、函数与方程联系起来、统一起来，进而用函数统领函数、方程与不等式研究全局.这正是中学数学的核心知识、观点与方法.

再次，问题解决的过程蕴含了丰富的数学思想方法：函数、方程与不等式、化归与转化、数形结合、分类讨论，等.看似简单，实则寓意深远.

具体到这几道问题的解决，也许上述三个步骤与因式分解相比没有多大优势，一成不变地强调三个步骤没有太多意义，但从课本的整体结构把握，尤其是突出函数这一大观点、大方法去考虑，也许结论就是相反的了.因此在这里，突出解不等式的三个步骤，并一以贯之地执行，既是问题解决自身的需要，更是突出核心观点方法的必然，还有着眼于知识发展的眼光——当后面遇到含有参数的一元二次不等式问题，特别是需要多层级分类讨论的问题时，将更加凸显函数思想方法的优越性，甚至是不二的选择.

4 从解题示范视角理解课本例题

苏教版必修2第一章“立体几何初步”第1.2.2节“空间两直线的位置关系”，在公理4后给出例1及其证明过程：

如图2，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E,F分别是AB,BC的中点，求证：

EF∥A1C1.

证明：连结AC，在△ABC中，因为E,F分别是AB,BC的中点，所以EF∥AC.

又因为AA1BB1，BB1CC1，所以AA1CC1，

从而四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1.

从而EF∥A1C1.

图2

一些教师认为，该题非常简单：图形直观，位置关系清楚，推理过程简单，学生学习没有困难，故在教学中不愿着力，甚至对该例题置之不理.这是没有深刻理解题目的表现.

笔者认为，该例题意在做出两个示范：一是用演绎推理方法去证明立体几何问题，展示严密的逻辑推理链条，体现推理方法，明确哪些是条件，哪些是结论，从条件推得结论有何依据；二是规范的书写表达过程，即将每一个推理的逻辑段串连而成逻辑链，处在中间位置的，既是上一个逻辑段的结论，又是下一个逻辑段的条件，推理步步有据，环环相扣.须知，这是苏教版“立体几何初步”例题中的第一道证明题，对引导学生执果索因，寻找推理的源头，用数学符号语言规范表达交流，重视演绎推理，学习理性精神，形成实事求是的科学态度，无疑具有积极的、重要的意义.

联想这些年高考数学江苏卷阅卷情况，对学生的书写表达有较高的要求，特别是立体几何证明问题，要求学生必须思路清楚、推理严谨、表达规范.一些教师在高三复习教学时，比较重视学生的书写表达，立体几何证明题尤甚.但学生的答卷却不能令人满意.究其原因，可能与平时教学没有落实到位有关.例如，在本例题中，虽然AA1CC1是显而易见的，但却是不能直接利用的现成结论，需要根据长方体的性质，应用公理4去论证.因此，在本题教学过程中，要让学生经历并体会一般的解题过程：怎样分析问题，已知什么，要证什么；而要完成这样的证明，又要做什么；明确哪些是条件，哪些是结论，由条件推得结论的依据在哪里，为什么；怎样用数学语言规范表达……