初中数学教材与课程标准的一致性研究*——以“人教版”和“湘教版”中的函数习题为例

周 莹 廖丽红 梁 鑫 黄怀芳

(1.广西师范大学数学与统计学院541004； 2.北京师范大学广西平果附属学校531400；3.广西来宾市第一中学546100)

1 问题提出

国家课程标准是教材编写、教学、评估和考试命题的依据，是国家管理和评价课程的基础[1][2]，教材是体现课程标准的理念、目标和内容，直接指导课程实施的潜在实施课程，而数学习题作为数学教材的重要组成部分，是数学教学过程中组织学生学习、实践活动的一种重要形式,它是否与课程标准匹配，关系到课程改革能否顺利推进和教材的的质量基础.通过查阅文献发现，有关教材习题与课程标准的一致性研究很少，尤其在数学课程的内容标准方面;而且在课程实施中我们和一些学者发现[3]，许多初中数学教师对教材设置的习题不够重视,甚至陷入滥用教辅资料、题海战术境地；而中学数学教材的函数作为其核心内容，这已成为国际的主流[4].基于以上多方面的思考，我们着手对数学教材函数习题与数学内容标准进行一致性地研究，期望能为教材编写和课程标准的修订提供参考，乃至促进师生树立良好的教材习题观.

2 研究方法

本文研究的是人民教育出版社出版的义务教育数学教材(2014版)(简称“人教版”)和湖南教育出版社出版的义务教育数学教材(2014版)(简称“湘教版”)中的函数习题与义务教育数学课程标准(2011年版)》(简称课程标准)的一致性问题，主要采用SEC模型，利用SPSS16.0、EXCEL、MATLAB软件对编码结果进行分析.

2.1 研究内容

选取人教版和湘教版的函数习题，从内容主题和认知水平的两个维度，对比分析与课程标准的一致性程度.其中，习题为函数的课时练习，章节习题及复习题；课程标准为第三学段“数与代数”领域第三部分函数即函数、一次函数、反比例函数、二次函数的所有内容标准.

在内容主题的划分时，充分考虑到主题分类的科学性、全面性及编码工作的简洁性，根据课程标准的函数内容分类及教材的目录编排，将函数内容主题划分为：函数的概念、函数的图像和性质、函数与方程、函数与实际问题这4个内容主题,每个主题又包含一系列具体的子主题.

对于认知水平的划分，根据修订版布卢姆教育目标分类学中的认知维度从低到高分为记忆、理解、运用、分析、评价、创造6个亚类.

因此，构成了初中函数习题与数学课程内容标准的4×6的二维矩阵结构，它包含4个内容主题和6个认知水平.

2.2 应用模型

2002年美国维斯康星洲教育中心主任安德鲁·帕特(Andrew Porter)等学者，在诺曼·韦伯(Norman L.Webb)对评价与课程标准一致性的研究成果基础上，提出课程实施调查的定量研究模型(Survey of the Enacted Curriculum，简称SEC模型)用于判断评价教育项目与课程标准间的一致性，目前“SEC”分析范式已经在美国各州得到推广和应用[5].

为了给出一致性程度的标准，美国学者Gavin W. Fulmer(2011)利用R软件进行随机模拟，在给定显著水平情况下分别计算出不同单元格及不同标准点时的临界值.若一致性系数大于显著性水平的临界值，说明评价内容与课程标准存在统计意义上的显著一致性；反之，一致性不显著.若是进行双侧检验，则分别与临界值的上下限进行比较，当一致性系数小于临界值下限时，认为不一致；当一致性系数大于临界值上限时，认为显著一致；当落在临界值之间时，认为有一致性，但不显著.

2.3 编码结果

本研究的编码工作首先由三位具有数学与数学教育研究背景的工作者进行独立编码，之后利用SPSS16.0对他们的编码结果进行相关分析.结果表明三位编码者两两之间的Kendall’s tau相关系数和Spearman’s rho相关系数均是0.934以上，且Kendall检验的显著性概率小于显著性水平0.05，说明他们的编码结果具有很好的相关性和内部一致性，验证编码结果有效.因此，三位编码者只需针对分歧点进行讨论，形成最终一致的编码结果，之后进行标准化处理，计算各单元格数量比率值，结果如表1至表3所示.

表1 课程标准的编码结果(比率)

表2 人教版函数习题的编码结果(比率)

表3 湘教版函数习题的编码结果(比率)

3 结果与分析

3.1 一致性系数

将表1、表2与表3的比率值数据代入Porter公式[6]，计算人教版和湘教版的函数习题与数学内容标准的一致性系数分别为0.7668、0.7969.根据美国学者Gavin W. Fulmer[7]393-396计算的临界值表(4×6编码标准，30标准点)，在显著性水平0.05下的临界值上下限分别为0.8849、0.7867.由于人教版的函数习题与数学内容标准的一致性系数0.7668小于临界值下限0.7867，说明人教版的函数习题与数学内容标准的一致性弱；而湘教版的函数习题与数学内容标准的一致性系数0.7969 ∈[0.7867, 0.8849],说明湘教版的函数习题与数学内容标准具有一致性，但在统计学意义上不显著.

3.2 图形表征

为了能够直观地观察分析，分别画出不同内容主题和认知水平的权重柱状图1、图2，并通过地形图对4个内容主题和6个认知水平的权重分别呈现在表3、表4、表5中，结果及分析如下：

图1 内容主题分布情况

图2 认知水平分布情况

图3 课程标准地形图

图4 人教版函数习题地形图

图5 湘教版函数习题地形图

(1)内容主题维度

观察以上地形图与图1得知，两个版本的函数习题在内容主题上的分布权重均是：函数图像与性质>函数的概念>函数与实际问题>函数与方程，均侧重于考察“函数图像与性质”这一内容主题.而课程标准中涉及的内容主题分布是，函数的概念>函数图像与性质>函数与实际问题>函数与方程.整体上两个版本的内容主题在“函数与实际问题”及“函数与方程”上都与课程标准的保持一致；相对于“函数的概念”与“函数图像与性质”课程标准更重视前者，而人教版和湘教版都与课程标准则为后者；湘教版的函数习题在内容主题的整体分布与课程标准的吻合度比人教版的略大.

(2)认知水平维度

由以上地形图、图2和表2可知，课程标准和两个版本在认知维度上都主要集中于“运用”，其次是“理解”.在“分析”认知水平，无论是人教版还是湘教版的认知水平都弱于课程标准的要求.在“评价”和“创造”这两个高认知的权重上人教版略高于课程内容标准，而湘教版的又比人教版的要高.

(3)内容主题与认知水平

① 从图3至图5可以发现，在三者都最为强调的“运用”水平层次，两个版本与课程内容标准存在差异，课程标准侧重于“函数的概念”内容主题，而人教版和湘教版偏向于“函数图像与性质”.

② 三者一致强调 “理解”水平，但分布在不完全相同的内容主题里.从图3至图5可以发现，课程标准和湘教版体现在“函数的概念”，而人教版落脚于“函数图像和性质”.

③ 图3至图5表明，课程标准其次强调 “函数图像与性质”的“理解”和“运用”、 “函数与实际问题”的“运用”水平，然后就是 “函数与方程”的“运用”，之后就是“函数与实际问题”与“函数图像与性质”的“分析”；人教版其次强调 “函数的概念”的“理解”与“函数与实际问题”的“运用”，然后就是“函数与方程”的“运用”水平；湘教版其次强调 “函数图像和性质”的“理解”、“函数与实际问题”的“运用”，之后就是 “函数与方程”的“运用”水平.相对人教版来说，湘教版在“函数图像与性质”的“理解”水平上的习题设置更符合课程标准的要求，而人教版和湘教版在“函数图像与性质”和“函数与实际问题”的“分析”水平上都明显弱于课程标准.

以上研究得出：人教版和湘教版的函数习题以及课程内容标准三者都一致强调认知水平中的“运用”，其次为“理解”， 而“创造”、“评价”和“分析”弱；在四个内容主题中，课程标准侧重于“函数的概念”，而人教版和湘教版偏向于“函数图像与性质”.整体上人教版和湘教版的函数习题与数学内容标准的一致性都不高.

4 思考与建议

(1)精准把握课程标准的要求

依据国际著名课程论学者古德莱德的课程分类，课程标准属于文本课程，教材则属于理解课程，教材是编者根据自己对课程标准的理解而编写具体材料，却未必真正代表课程标准的本来含义，从而与课程标准保持一致[8]，这在本研究中也有发现.譬如，课程标准中要求学生“能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系”.这个要求具有一定的开放性，需要学生对该实际问题进行分析，并根据具体问题选取三种函数表示法中的最合适的表示法，来刻画简单实际问题中变量之间的关系，对应的认知水平是“分析”、 “运用”.而其中的教材在设计相应的习题时却是“某桌子定价20元/张.如果一次性购买25张以上，超过25张的部分打七折，请用列表法表示购买数量与付款金额之间的函数关系.”该习题直接指定学生用列表法，而不需要学生思考方法的选择与评价，对应的认知水平是“理解”、“运用”，与课程标准的认知水平要求不完全一致.因此,为保障教材的质量基础，教材习题编者应该重视精准把握课程标准对数学教材习题的认知水平和内容主题等多元要求.

诚然，若有教材基于某些教育发达地区或学校，设计的教材及习题在保证了课程标准基本要求的同时，超越课程标准的基本认知要求，拓展、丰富课程标准的内容范围及其教材编写策略方法，这些只要有利于学生的良好发展，实乃属于落实课程标准的“下要保底”、“上不封顶”的统一性与独创性相结合理念.譬如，人教版在章尾之处设有知识结构图、回顾与思考的“小结”，对学习的梳理、反思，形成良好思维习惯具有指导和示范作用; 湘教版教科书在学生易错之处，针对应归纳的结论和需要引导学生发现问题、提出问题的地方，分别采用 “警示”、“归纳”、“问题”三种形式的小贴士，使教科书更具可读性和探究性.

(2)适量加大高级认知水平的权重

美国国家数学咨询委员会在2008年颁布的总结报告《成功需要基础》中，特别强调高水平的认知能力对提高国家竞争力、国民素养及生活水平的重要性.长期以来我国重视双基和注重常规练习是传统优势，然而,一些研究[9][10][11]和以上研究发现教材习题或课程内容标准过于注重“运用”、“理解”水平而弱于“创造”、“评价”、“分析”水平， 这种重中低级、 轻高级认知水平的情况与美国、英国和新加坡等国外先进国家相比差异显著，这与课程标准提出的发展创新意识、学会思考的先进理念不够一致.课程标准作为教材编写的依据，为了能发挥其本来应有的标准作用和更有效地推进新课程改革，建议在内容标准及其习题配置方面要适度加强创新、评价等高级认知水平，要求教材要注意体现发挥习题的系统功能，在准确把握习题的容量、难度的基础上，适量开发一些具有情境性、开放性、探究性的习题，尽可能提供学生尤其是那些学有余力的学生有发现问题、分析问题和解决非常规问题的机会，提升核心素养.

(3)加强习题内容分布及其层次性

虽然螺旋式是教材编排的一种科学方式，有重复相同但层次不同的特点.但是在研究的教材中发现存在同个内容的习题重复过多、内容主题层次不明显的情况.例如：课程标准中要求学生会画二次函数图像的内容标准只有“会用描点法画二次函数的图像”一条，但统计湘教版的二次函数习题部分，要求学生画二次函数图像一共有43题，占了二次函数习题总数的37%，而这些题目涉及的知识点或内容主题和认知水平几乎相同，人教版的函数习题也存在类似情况.这样的习题分布内容窄、内容主题重复过多或简单重复的问题在不同学段[7]等也有体现.建议编者适当降低习题的重复性，增强各内容主题的平衡性，加强习题的层次性以及不同知识关联性的习题.此外，着眼教材的习题栏目，几乎都是教材编者出题，很少有鼓励和引导学习的主体发现问题、提出问题、自主设计习题的情境，这种问题值得进一步研究.