在大学物理中适当增加斑图动力学内容的重要性

陈绍英袁国勇



在大学物理中适当增加斑图动力学内容的重要性

陈绍英1袁国勇2

（1.呼伦贝尔学院学报编辑部 内蒙古 海拉尔 021008； 2.河北师范大学物理科学与信息工程学院 河北 石家庄 050016）

作为非线性科学研究领域的一个重要分支，斑图动力学是中一直受到广大学者的重视，而螺旋波动力学又是斑图动力学中的重要研究方向。把斑图动力学的核心内容介绍给本科生，可进一步丰富学生的非线性科学知识，加深其对学科交叉重要意义的认识，促进创新能力的培养。

斑图 螺旋波 交叉学科

当前,非线性科学各个研究领域非常活跃，其中斑图（pattern）动力学的研究一直受到专家、学者们的关注。把非线性科学的知识内容融入到本科课堂中已有了很多探索[1-3]，并且在有些高校中已取得很好的效果，编写了相应的教材，开设了相关课程或选修课[4-5]，但在非线性知识内容介绍上主要集中在混沌（包括量子混沌）、分形、混沌控制等方面[6-9]，而对和大自然及人们生活紧密相关的斑图动力学内容介绍的较少。斑图是在空间或时间上具有某种规律性的非均匀宏观结构，许许多多的斑图结构形成了绚丽多彩的大自然。不同的系统在不同的条件下可产生各式各样的斑图，它广泛存在于我们的世界中。如宇宙中的星际分布，连绵起伏的沙丘及微观世界原子、分子的自组织排列。同样，在人们日常生活中斑图也是随处可见的。例如，动物皮毛表面上的斑纹，土地的龟裂，液体受热的对流花样等等，可以说绮丽多彩的各种各样的斑图是自然给予人类最美丽的馈赠，如图1所示。而人类在对这些瑰丽的时空结构充满好奇的同时，也在孜孜不倦地探究着这些时空斑图背后的产生机理和规律。因而了解斑图的产生机制，对于揭开自然界形成之谜有重要意义。在斑图动力学的研究领域中,螺旋波动力学一直是一个重要的研究方向并取得长足的进展，也是在实践中有重要应用的研究领域，特别是其在医学上对开发新的治疗心脏病方法将具有重要的指导意义。时代发展要求高校物理教育改革不断深化，将新的研究成果引入到本科课程中有助于创新型人才的培养，促进本科教学水平的不断提升。斑图动力学作为一门横向科学，研究的内容学科交叉是它一大特点，涉及到物理学、化学、数学、生物学、医学等多个学科领域。因此，将斑图动力学研究比较成熟的部分内容适当引入大学物理本科课程中有利于学生综合素质的提高。笔者一直关心大学物理教学现代化问题，此前也曾撰文讨论过把混沌理论及混沌控制的思想引入大学物理本科教学中[8]。国内有很多院校也在此方面做了有益的尝试，在拓展学生知识面，培养学生创新意识方面起到较好的作用。

图1 自然界中存在的典型时空斑图结构[引自文献10]

1. 斑图动力学的历史和研究进展

斑图动力学是非线性科学领域内的一个重要分支，它和孤立子与孤波,时空混沌,元胞自动机，分形结构等非线性问题同样受到研究者的关注。从热力学角度看，自然界的斑图既可存在热力学斑图动力学是非线性科学领域内的一个重要分支，它和孤立子与孤波,时空混沌,元胞自动机，分形结构等非线性问题同样受到研究者的关注。从热力学角度看，自然界的斑图既可存在热力学平衡条件下的系统中，也可存在于许多远离平衡态的非线性系统中。对于前者，例如各种矿石上出现的沉积结构、无机化学中晶体结构形成的斑图等，可用统计物理的有关原理和热力学平衡态知识解释。根据平衡态热力学规律，在给定的温度与压强时，系统会自发地向吉布斯自由能最小的方向移动，形成某些空间有序结构[10]。而对于后者，例如斑马体表的条纹、化学反应的振荡波等,则需要从动力学角度探讨这类斑图的成因和规律，因为它们是在远离热力学平衡态的情况下形成的，经典的热力学理论对其不再适用。现在所说的斑图动力学就是以远离平衡态条件下形成的斑图为研究对象的科学。对于非平衡态斑图的形成机制还没有成熟的理论，均匀定态的线性失稳导致图灵分岔、霍普夫分岔、有限波失稳是目前的一个基本观点。随着人们的深入研究，十几年来在流体对流系统、振荡沙盘系统、非线性光学系统、反应扩散系统以及介质阻挡放电系统中都获得了丰富的斑图模式[11],如图2所示。在斑图动力学的研究中,有两类斑图引起了不同领域的研究者广泛的关注。一类是空间上呈现周期有序而时间静态的定态结构，如体表带有条纹状、斑点状花纹的斑马、海螺、豹子等，由被称为计算机理论之父的英国著名科学家阿伦图灵（Alan Turing）最早对此作了预言和解释，故这类斑图称之为图灵斑图。图灵斑图对应空间平移对称性破缺，是由系统局部失稳形成的，系统在相空间中一个空间均匀定态的失稳是其发生的机制，它对应的非平衡相变可以通过对方程均匀定态解的微扰分析得到。直到上世纪九十年代初，图灵斑图才首次在实验上由我国学者欧阳颀等人观察到[12]。另一类斑图的特点是不仅在空间上呈现周期性的结构，而且在时间上也呈现周期性的振荡行为，这类斑图起源于系统的全局失稳，其系统在相空间中的空间均匀定态解是稳定的，但由于系统的某些特殊性质，它在一定条件下会自组织形成各类时空斑图，这类斑图通常被称之为波斑图[13]。

图2 各种系统的斑图(a)生物系统; (b)化学反应系统; (c)Faraday系统;(d)对流系统;(e) 非线性光学系统;（f）介质阻挡放电系统。引自文献[11]

1900年法国科学家贝纳尔(H.Bénard)对流体力学中热对流现象的研究可认为是对斑图的形成及其动力学最早开始的系统实验和理论研究。而现代斑图动力学研究的开端，一般认为始于图灵为解释动物皮毛表面的斑纹以及生物发育过程中的各种器官的分化问题于1952年提出的图灵斑图理论。但这一工作在当时没有引起足够重视，几乎与此同时，前苏联科学家别洛乌索夫（B.P.Belousov）和扎包廷斯基（A.M.Zhabotinsky）在著名的Belousov-Zhabotinsky化学振荡反应（简称B-Z反应）实验中发现了一类更具有广泛意义的动态自波斑图，如螺旋波（spiral wave）、靶波（target wave）[14-15]等。斑图动力学真正作为一门科学并引起研究者重视得益于上世纪七十年代美国科学家维夫瑞（A.T.Winfree）的工作，他将这一发现介绍给西方科学界，自此，在很多学科领域斑图动力学研究得到了快速发展，特别是1990年实验中发现了图灵斑图后，斑图动力学的研究就一直成为非线性研究中的热点。

2. 研究螺旋波的重要意义

螺旋波和回卷波是在远离热力学平衡态情况下形成的斑图之一，人们把二维系统的叫螺旋波，三维系统的叫回卷波，螺旋波动力学是斑图动力学研究中最受关注的方向。因此我们认为在课程中应主要介绍反应扩散系统中螺旋波的研究成果。因为反应扩散系统涉及的范围非常广泛，其动力学行为丰富并和很多生命现象相联系，包括半贫瘠地区的植物生长模型[16]物理系统的气体放电模型[17]、生态系统中的捕食者-猎物模型[18]以及传染病的传播[19]、农业人口的迁移[20]、森林火灾的蔓延[21]、球场观众席上的人浪[22]等都可以演化成为反应扩散方程。从某种角度说，反应扩散方程是描写自然界运动的基本方程之一，因此，吸引了包括化学、物理学、数学、生命科学、计算机科学等诸多领域的研究者。反应扩散系统中的螺旋波按其形式分为两类：时序振荡系统中的螺旋波和可激发系统中的螺旋波。时序振荡系统中的螺旋波属于相波；可激发系统中的螺旋波属于激发波，两者的成因是不同的。在这里以介绍可激系统中产生的螺旋波为主。螺旋波的动力学中心（波头）是一个时空点拓扑缺陷，即数学上的奇点，这也是吸引科学工作者对螺旋波研究感兴趣的另一个重要原因。因为在波头邻域内反应扩散方程不再成立，解决此类点缺陷问题始终是非线性研究的难点。

螺旋波和回卷波是最常见又比较稳定的非平衡斑图中的一种图像。与形成靶波和平面波斑图不同，螺旋波不需要持续的激发源，它本身是自激的，在可激媒质、振荡介质和双稳系统中都能产生螺旋波。例如心肌组织的电信号[23]、反应扩散系统的化学波[24]、正在聚集的粘性霉菌[25]、小鸡的视网膜[26]、蛙类卵细胞中的钙离子波[27]以及铂催化剂表面的一氧化碳氧化[28]等都能观测到这种斑图。这里重点介绍一种典型的可激发介质—心肌组织。心脏中的组织变异即组织的纤维化以及组织局部缺血等现象是心脏疾病发生的重要原因之一。实验发现：心肌中血液流动性降低可以导致心肌梗塞，有可能造成心肌细胞的大片死亡，从而形成整片的非传导性组织[29]，即可能形成螺旋波的缺陷。在心脏病患者中观察到的一类心律不齐或心动过速现象，可能是由于心肌电信号出现螺旋波而引起的。心动过速一般是心肌纤维性颤动的预兆。纤维性颤动分为房颤和室颤。房颤一般会在较短的时间自行消失,威胁人的生命程度不大。但室颤却不同,它是一种极其严重的心律失常，若不及时处理,很快就会危及人的生命，而心颤致死的过程与螺旋心肌电波的失稳有密切的关系。到目前为止，越来越多的实验研究都表明，心律不齐，尤其是心室颤动（ventricular fibrillation）和心动过速，与螺旋波及其失稳而形成的湍流态有着密切的关系[30]。室颤发生时，人体心脏的电活动趋于紊乱。由于完全失去同步性，心肌细胞不能协调一致地、有节律地收缩和舒张，心脏正常供血功能丧失，具有突发性和抢救难度大的特点[31]。目前对于这类病变，人们主要用电极将6 kV的电压直接作用在患者胸部(闭腔疗法)或者将约0. 6 kV电压直接作用在心脏上来刺激心脏，将心脏打停,待螺旋波消失，然后再用心脏起搏器重新启动心脏。临床上使用除颤器除颤虽已是一种较成熟的方法，但用这种方法病人较为痛苦而且还会给心肌组织造成解剖性缺陷，为以后心颤发生留下隐患，整体治愈率并不理想。发生室颤有多种原因，如心脏原来有解剖性问题，还有的是由突发事件引起的，如很多心脏病人猝死就是这种情况。据调查，在美国每年发生大约30万人心脏猝死的病人中，有一多半源于室颤。号称我国三大杀手的疾病即心脏病、癌症、中风中,室颤也位列其中[32]。因此，室颤引起的心脏猝死对当今心脏病专家、相关领域学者提出了重要挑战。通过对螺旋波理论的研究得出的初步结论，如果螺旋波运动规律能被掌握,使用很小的电压（5mV左右）就能将螺旋波引出心脏[33]，如果能付诸实践将是极有实际意义的。随着对螺旋波机制的深入研究，对室颤的发生机制、电生理活动及治疗方法将不断有新的了解和更新，能为获得更有效果的治疗方法奠定基础。因此，把心脏中的螺旋波电信号及其失稳形成的湍流态消除，一直是心脏病学研究的重点之一，这个问题最终解决考验着非线性科学家的智慧。

3. 引入教学的内容

斑图现象是一种跨学科的普适现象，涉及很多学科和领域，有些现象的机理还不是很清楚，显然在课程中不能一一介绍。因此，我们认为应主要介绍在斑图动力学中已比较成熟的具有代表性的基础理论、实验和应用，特别是要体现出现代科学多学科交叉融合的特点。

3.1 可激发系统与螺旋波

简单的可激系统一般用一个双变量反应扩散方程描述，其形式为：

如果系统中的激发源是一个点，周期性地激发这个点波源，则在系统中会出现以波源为圆心的环状系列行波，通常称之为“靶波”。如果激发源为一条直线，且被周期性地激发，则系统中会形成一平行线状波，波的行进方向与线的方向垂直。一般可用产生行波的方式，在给定特殊初始条件下可产生出螺旋波。首先制造一个线状波行波(图4（a）)，然后截去线状波的上半部(图4（b）)，这样远离端点的区域，线状波波前的邻近点因受两个方向触发变量激发，因而波速较高；而在端点区域，因只受一个方向触发变量激发，线状波波前的邻近点波速较慢，从总体上看，当线状波向前移动时，端点的位置相对会有一个滞后，这个滞后使得线状波局部运动方向变化，在端点附近弯曲(图4（c）)，由于这种端点效应总是存在，随着时间变化，线状波会逐渐转变成螺旋波(图4（d）)。螺旋波波头是其动力学行为的控制中心，其运动不只是简单的圆周运动，存在维夫瑞所说的“漫游”现象[35]。

图4 螺旋波产生过程。引自文献[34]

3.2 Belousov-Zhabotinsky（B-Z反应）化学振荡反应实验

在介绍斑图动力学内容中，Belousov-Zhabotinsky化学振荡反应实验是研究斑图现象的一个典型实验。B-Z反应是用过渡金属离子作催化剂，在酸性水溶液中，用嗅酸盐来氧化、嗅化有机二元酸的过程，是目前最引人注目的斑图实验研究和理论分析的对象。该实验显示出诸多的非线性内容，既涉及丰富的混沌动力学现象又涉及多样的斑图动力学现象，是最早发现螺旋波现象和最简单的反应系统。同时，该实验内容的分析需要诸如化学、物理学、生物学等多个学科领域知识，对提升学生的综合素质和创新能力的培养有重要意义，也体现出现代科学研究学科交叉的特点。因此，让学生了解该实验的背景和过程对了解螺旋波产生和历史具有十分重要意义。该实验可用FKN机理解释, 用二维Tyson模型可以模拟B-Z反应中化学波的产生过程[36、37]

3.3 描述心肌组织的简易模型

心脏对人体来说是极其重要的器官，但由于心脏结构的复杂性，特别是伦理道德的约束对心脏结构、功能无论从实验还是从临床上探究都十分困难，一般只能借助一些仪器如心电图等来实现，给研究工作带来极大的不便。由于用实验的方式研究心脏本身成本非常高，促使人们建立成本较低的能够模拟心脏的动力学数学模型[38]。随着计算机仿真技术的不断提高，心肌组织的一些电生理活动已能够逐步模拟出来，用模型方式研究心肌组织行为已经成为重要方式之一，诸多心脏动力学新现象和概念都是在模型模拟研究中发现或提出的。例如可激发心肌组织产生螺旋波，螺旋波的失稳、破碎造成心颤现象、APD恢复曲线理论等等。

3.4 描述心肌组织的离子模型

在离子通道的水平上理解心律失常和室颤发生的基本机制以及单个心肌细胞的动作电位（Action Potential，AP）的变化性质是降低心脏病的病发率的重要前提。FHN模型虽较为简单，但存在不能分析离子电流变化对动作电位的影响、离子通道药物对某种离子电流的作用等缺点。要想研究更为复杂的一些心脏现象，一般要采用离子模型。相比简易模型，离子模型中包含更多的参量，计算起来也更为复杂。从细胞尺度研究得出，带电离子通过离子通道进出细胞。心肌细胞的电学行为是由通过离子通道的电流决定的，这样可把离子通道等效成有一定电阻的电流通道，把细胞膜等效成一个带电阻的“电容器”，它和可变电阻、电池并联在一起正好能够体现出不同的离子电流和泵的作用，如图5所示。

图5 心脏细胞膜的简单等效电路（引自文献[38]）

描述心室细胞膜间电压变化规律一般用L-R 相I心脏模型，是Luo和Rudy在1991年提出的[41]，这个模型能较好的呈现心肌细胞的动力学行为，被广泛用于数值仿真研究中。单个心室肌细胞动作电位可以用如下方程表示：

5.结语

在斑图动力学研究过程中，B-Z反应是产生各类斑图现象的具有标志性的代表，可根据教学需要，或从实验或从理论分析角度进行较详细介绍。文献[36、37]从BZ反应的机理出发用实验和数值模拟方法给出了反应扩散系统各种斑图形式，特别是对于螺旋波，从理论和实验上相互做了验证，并在非线性实验教学中进行了实践，很有参考价值。目前对于螺旋波的研究方法主要有三种[43]。一是实验研究。主要的实验有两个，一个是人们已经研究多年的B-Z反应，另一个是CO在Pt（110）表面的吸附氧化反应。二是理论分析方法。这种分析方法难度一般较大，主要是因为产生螺旋波的方程基本都是难以解析的非线性反应扩散方程。如能找出描述螺旋波的运动方程，可运用分岔理论或其他一些数学方法，对螺旋波进行定量分析。三是数值模拟方法。数值模拟实验是一门新兴交叉学科，是现代科学研究的一种重要手段。和绝大多数的自然科学研究一样，斑图动力学的常用研究方法主要是实验设计与数值模拟。由于产生斑图的各种实验从原理与设备上较为复杂，在教学中各学校可能受实验设备条件的影响很难实现。因此，我们建议多从数值仿真实验的角度来理解和验证实验过程，可多利用MATLAB等计算机软件较强的编程计算仿真能力来实现一些教学内容的展现[44]。这不仅可以直观地观察各种形式的斑图，还可提升学生的计算机的编程能力和处理实际问题能力。通过上述几个斑图产生的重要实验和模型的介绍，能使学生对现代斑图动力学有一定的了解，同时体会当今科学研究中学科交叉的重要性，培养学生的创新能力，推进物理课程教学内容的现代化。

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责任编辑：乌晓梅

2017-11-28

陈绍英（1964—），男，汉族，呼伦贝尔学院物理与电子信息学院教授，博士。研究方向：非线性理论方面研究。

内蒙古自治区高等学校科学研究项目(NJZZ14310),河北省高等学校科学技术研究项目（ZD2015080）。

O415.6；Q612

A

1009-4601（2017）06-0095-07