数学学习中巧解不等式的几种方法

◎徐雨欣

数学学习中巧解不等式的几种方法

◎徐雨欣

针对高中数学课程而言，不等式求解是学生学习的重难点，常见于高考数学考试当中。学生在实际问题解决时不仅要保证问题解决的准确性，同时还应当确保问题解决速度的提升。这就需要切实掌握多种不等式解题方法，实现灵活的问题解决。本文简要就数学学习中常用的不等式解题方法进行分析，并列举实例进行探讨该解题策略的应用，以期为广大高中学生实现不等式解题水平的提升提供参考。

高考在就不等式知识进行考察时所能利用的考察方式较多，对于学生的知识利用灵活度的要求较高。学生在实际问题解决时，应当切实掌握多种问题解决方法，将数学思想用作解题工具运用于实际问题解决当中，快速准确找到问题解决的关键点。避免在不等式选择题、填空题等简单且分值较低的解题时出现不必要的失误，以提高数学考试成绩。

利用特殊值进行不等式问题验证

不等式知识在实际考察中的考察形式较为多变，除了计算类大题之外，其还可能通过选择题、填空题等形式出现。在这种情况下，学生应当保证问题解决速度，其可通过特值验证法进行问题解决，节省时间与精力。该解题方式主要是指，在原问题的多个备选答案中选择一个，并将其代入到原本问题的题设条件当中进行逐个检验，从而确定该问题唯一或者多个正确的选项，避免了繁复的问题计算与问题分析，实现解题效率的提升。

例1：若存在x≥0，则不等式(5－a)x2－6x＋a＋5＞0始终成立，试求出不等式中的实数a的取值范围为( )

A．(－∞，4)

B．(－4,4)

C．[10，＋∞)

D．(1,10]

学生在就该问题进行解决时，就可利用特殊值检验法来得出问题答案。由于该题中主要是给出了多个区间，所以学生可在选择各个区间中不共有的数值代入到不等式当中，判断其在满足x≥0的情况下，不等式是否恒成立。即当a＝10，则不等式为－5x2－6x＋15＞0， 所 以5x2＋6x－15＜0，若要求x≥0，则该不等式并不能恒成立，所以答案C，D错误。而当a＝0时，不等式可表示为5x2－6x＋5＞0，若要求x≥0，则该不等式恒成立，所以答案A错误，B正确。

利用分类讨论的方法进行问题解决◎

含参不等式是常见的不等式问题题型，学生在就该类型问题进行解决时，为实现问题解决的全面性与准确性，可首先将不等式的参数进行分类讨论，从而实现问题解决。而分类讨论问题解决的关键在于正确的选择分类讨论的标准，常见的讨论标准包括指数底数、函数开口方向以及该函数与x轴的交点个数等多方面。

例2：:当存在log2a1+a211+a＜0时，试求出未知数a的取值范围（）。

A.（112，+ ∞）

B.（1，+ ∞）

C.（112，1）

D.（0，112 ）

学生在就该问题进行解决时可以明确该题型属于典型的含参不等式，可利用分类讨论的方式快速的进行问题解决。这里可选择函数的指数底数进行问题讨论。即若 0＜2a＜1，则 log2a1+a211+a＜0，即 0＞1+a211+a＞1时， 不 存 在 这 一 种 情况。而若 2a＞1，则 log2a1+a211+a＜0，即0＜1+a211+a＜1时，最终得出a＞112，所以选择A。

利用换元思想进行问题解决◎

该问题解决方式的应用主要是指学生在问题解决时利用一个或多个变量来就原量进行替换后进行不等式求解，最后再返回原变量进行答案转化的解题方式，将问题的未知量转化成已知已知量。

例3：:若a，b∈R，且a2+2b2=6，试求出未知数a+b的最小值为（）.

A.-22

B.-5313

C.-3

D. -712

学生在就该问题进行解决时，可使a=6sinα，b=3cosα， 所 以 a+b=3sin（α+φ），而这里的tanφ=212，因此a+b的最小值为-3。

数形结合思想◎

数形结合思想是不等式问题解决中最常用到的问题解决方法之一，该方法在实际应用中主要是指，若问题中需要求解的不等式本身就含有鲜明的几何意义特征或者该不等式是函数所构成的，则学生在进行该类型问题解决时可首先画出相对应的图像来就该不等式进行直观呈现。将抽象的问题具体化后，再根据该图像进行问题分析，最终求出不等式问题的解。

例4：现有a＞0，并且有关于x,y不等式为x≥2x+y≤4y≥a(x-4)，已知目标函数可表示为z=2x+y，（函数最小值为2），计算a的取值范围。学生在进行该问题解决时会发现该题目本身就含有函数，但是由于未知数数量过多，所以学生往往难以直接根据已知条件就函数所表达的直线进行绘出。但是题中已有该目标函数的最小值为2的条件，所以学生在进行函数图像绘制时应当转变解题思维。首先在平面直角坐标系中画出已知条件的图像，但这过程中应当注意，要通过虚线、实线等不同的表达方式来就“≥、＞”等符号进行标出。根据已知条件a＞0可知，所表示的直线y≥a（x-4）过直角坐标系的第一、三象限。且若目标函数过点A（2，-2a），则该函数呈现为最小值。学生把该点坐标代到目标函数中，便能计算得到a=1。

不等式是高中数学学习中的关键知识，不仅需要学生掌握该部分基础知识，同时还要求学生在面对实际问题时能应用所学知识和数学思想快速准确的进行问题解决。在提高解题方法掌握能力提升的同时，不断进行不等式问题解决经验的总结，方便在实际考试中更快更好地进行相关问题解决。

（作者单位：湖南省长沙市第一中学）