有限偏序集上的强滤子及其应用

刘志禹， 姜广浩， 唐照勇

(淮北师范大学数学科学学院,安徽淮北 235000)

有限偏序集上的强滤子及其应用

刘志禹， 姜广浩， 唐照勇

(淮北师范大学数学科学学院,安徽淮北 235000)

本文在偏序集上引入强滤子的概念,并在有限偏序集上探讨强滤子与(非)连通偏序集之间的关系.

强集； 强滤子； 不交并偏序集； (非)连通偏序集

1 引言与预备知识

唐照勇等在文献[5]中给出了另一种等价的数学语言来刻画有限偏序集的连通性,进而将有限偏序集分为连通和非连通两种类型， 并在有限偏序集上探讨了强理想与(非)连通偏序集之间的关系. 受此启发， 本文在偏序集上引入强滤子的概念,并在有限偏序集上探讨强滤子与(非)连通偏序集的关系. 文中A⊂B指的是集合A真包含于B.

定义1.2 设F是偏序集(E,≤)的非空子集， 称F是E的上(下)集， 如果对∀a∈F,x∈E,若a≤x(x≤a)蕴含x∈F,即F=↑F(F=↓F) .

定义1.3 称非空子集F是偏序集(E,≤)的滤子.如果F满足以下条件:

(1)余定向： ∀a,b∈F,∃c∈F使得c≤a,c≤b；

(2)上集 ： ∀a∈F,b∈E,若a≤b蕴含b∈F.

定义1.4 设F是偏序集(E,≤)的非空子集， 称F是E的强集， 若F既是上集又是下集.

2 强滤子

定义2.1 设F为偏序集(E,≤)的滤子， 对∀a∈F,b,c∈E, 若a≤x,b≤c蕴含b∈F， 则称F是偏序集(E,≤)的强滤子(简称F是E的强滤子).若真子集F为偏序集(E,≤)的强滤子， 则称F是偏序集(E,≤)的真强滤子.

定理2.1F是偏序集(E,≤)的强滤子当且仅当F是E的余定向强集.

证明 必要性： 设F是偏序集E的强滤子, 则F是滤子， 进而为余定向上集.下证F是下集.假设a∈F,b∈E，b≤a， 易知a∈F，a，b∈E，且a≤a，b≤c.由强滤子定义知b∈F. 故F是下集， 进而F是E的余定向强集.

充分性： 设F是E的余定向强集,假设a∈F，b，c∈E,a≤c,b≤c,下证b∈F.由F为上集及a≤c知c∈F.再由F是下集及b≤c知b∈F.故F是E的强滤子.

3 应用

定义3.1 设(E,≤)是偏序集，a∈E.按以下步骤操作：

定义3.3 设H是有限偏序集(E,≤)的非空子集，a,b∈E. 若[a]=[b]， 则称元素a和b在E上是连通的， 简称a和b是连通的， 记作a∶b.否则， 若[a]Ⅰ[b]=∅， 则称元素a和b在E上是不连通的.若H中任意两个元素在E上都是连通的, 则称H是E的连通子集. 否则称H为非连通子集.特别， 若E自身为非连通(连通)的， 则称E为非连通(连通)偏序集.

注3.1： 设(E,≤)是有限偏序集，a,b∈E.则要么[a]=[b]， 要么[a]Ⅰ[b]=∅[5]. 依据此可知， 两个连通分支只有两种关系.

定义3.4 设(E1,≤1),(E2,≤2)是两个交为空的偏序集.构造集合E=E1∪E2.下面定义E上的一个二元关系≤ ：

∀x,y∈E,x≤y⟺(x,y∈E1,x≤1y)

或(x,y∈E2,x≤2y).

定理3.1 设(E， ≤)是偏序集.若E中存在真强滤子, 则(F， ≤)可以看作不交并偏序集.

引理3.1 设F是有限偏序集(E,≤)的非空子集， 则F是E的连通分支当且仅当F既是强集又是连通子集.

定理3.2 设F是偏序集(E,≤)的非空子集.则F是余定向连通分支当且仅当F是强滤子.

证明 必要性： 设F是余定向连通分支， 由引理3.1可知F是强集,又F是余定向的， 故F是余定向强集.依据定理2.1知F是强滤子.

引理3.3 设(E,≤)是有限偏序集，a,b∈E.则b∈[a] 的充要条件是a∶b.

定理3.3 设(E,≤)是有限偏序集.若E中存在真强滤子， 则E必是非连通偏序集.

证明 设E1是E的真强滤子， 记E2=EE1， 则E2不空.依据定理3.2知，E1是连通分支， 记E1=[a].取b∈E2,下证a∶. 反证法， 假设a∶b， 由引理3.3知b∈[a]=E1,但这与b∈E2=EE1矛盾.故E是非连通偏序集.

引理3.4 设(E,≤)是有限偏序集，a∈E.则[a]是E的连通子集.

定理3.4 设(E,≤)是有限偏序集.则以下条件等价:

1)E是非连通偏序集,且至少有一个连通分支是余定向的;

2)E中存在真强滤子;

证明 1)⟹2)设非连通偏序集E的连通分支F是余定向的， 由定理3.2必要性知F是强滤子.又F是非连通偏序集， 则F⊂E.否则F=E， 依据引理3.4可知，E是连通偏序集,这与题设条件矛盾.故F是真强滤子.

2)⟹1) 设F是E的真强滤子， 由定理3.3可知E是非连通偏序集.再由定理3.2充分性知F是E的一个连通分支且是余定向的.

[1] 方捷.格论导引.现代数学基础[M].北京： 高等教育出版社,2014.

[2] Gierz G, Hofmann H, Keimel K, et al. Continuous lattices and domains [M]. Cambridge :Cambridge University Press，2003.

[3] 郑崇友， 樊磊， 崔宏斌.Frame与连续格[M].北京： 首都师范大学出版社,2000.

[4] 姜广浩， 徐罗山.偏序集上的滤子极大理想[J].模糊系统与数学， 2007， 21(4)： 35-42.

Strong Filter on Finite Poset and Some Applications

LIU Zhi-yu, JIANG Guang-hao, TANG Zhao-yong

(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei 235000, China)

In this paper, the concept of strong filter on poset is introduced. In addition, the relation between strong filter and disconnected/connected poset is discussed on finite posets.

strong set; strong filter; disjoint poset; disconnected/connected poset

O144

A

1009-4970(2017)11-0016-03

2017-06-20

国家自然科学基金资助项目(11361028)； 安徽高等学校省级自然科学研究重点项目(KJ2013A236, KJ2017A378)； 淮北师范大学研究生创新基金项目(yjscx201720)

刘志禹(1991—), 男， 安徽亳州人， 硕士. 研究方向：一般拓扑学.

[责任编辑 胡廷锋]