用DIS声波传感器测量重力加速度

宦继庆

摘 要：基于恢复系数理论上保持不变的原理推导了重力加速度的测量公式，通过对三种不同材料小球实验数据的分析，总结了实验成败的关键在于发生碰撞的物体应具有较大的硬度和较高的恢复系数。

关键词：恢复系数；重力加速度；落球；数字化实验系统

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2017）11-0056-3

重力加速度是物理学中非常重要的物理量，测量它的传统方法主要有自由落体法、单摆法、水滴法等。随着数字信息化实验系统（DIS）的引入，各类传感器被运用于g值的测定并取得了很好的实验效果[1]。本文在总结前人研究的基础上，利用DIS系统的声音传感器，依据两物体碰撞时恢复系数不变的原理，实现了对重力加速度较为准确的测量。

1 实验原理

牛顿碰撞定律指出：碰撞后两物体的分离速度与碰撞前两物体的接近速度成正比，比值e称为恢复系数[2]。现假设一小球从某一高度处自由落下与静止水平面发生碰撞并形成多次反弹。由于小球运动过程中受空气阻力的影响非常小[3]，小球每次碰撞中相对于水平面的接近速度和分离速度可分别设为v1、v2；v2、v3；v3、v4；……根据恢复系数的定义有：e……可以看出，在非完全弹性碰撞（0

如图1所示，设小球的起始高度为H1，第一次碰撞后反弹的高度为H2；第一次碰撞与第二次碰撞的时间间隔为ΔT1；第二次碰撞与第三次碰撞的时间间隔为ΔT2。若小球与水平面碰撞时间极短，小球前后两次碰撞的时间间隔近似等于碰撞间小球在空中运动的时间，那么

根据（4）式测量重力加速度的关键在于碰撞时间间隔的测量，而碰撞时间间隔可以转化为发声时间间隔通过数字化实验系统（DIS）的声波传感器进行测量：声波传感器能够对碰撞时发出的声音进行瞬时的采集，形成如图2所示的波形图。由波形图可以很方便地确定发声的时间点，进而确定发声的时间间隔。

2 实验操作方案

1）用方座支架以及试管夹在实验桌上方固定一小平台。小平台的材料可以是硬纸板、直尺等，设置它的目的在于能使小球紧贴平台的底部稳定地由静止下落，也便于测量小球下落的高度，即小平台底部距离桌面的高度h与小球直径d之差。另外，选择桌面（本实验的桌面为钢木材质）作为静止的水平面是因为它的平整性较好，并且与小球发生碰撞时能发出较响的声音。

2）将DIS系统的数据采集器接入电脑，声波传感器连入数据采集器；设置传感器的采样频率为“10 K”，使时间的测量能精确到0.0001秒；调整声波显示窗口的纵轴（声强）和横轴（时间）的显示比例，使传感器采集到的声信号能够完整地显示在图形窗口当中，以便对数据的准确性作出初步的判断。（理想的波形应该是振幅逐渐降低，波峰之间的间距逐渐减小。）

3）点击实验操作界面的“开始”按钮后释放小球，在小球与桌面发生三次碰撞后即可停止声音的采集。

4）将采集到的声波图的横轴充分放大，使所有的数据点得以分离，从而可以利用“显示图线中的数据点”“鼠标显示坐标值”的功能准确地确定每次碰撞发声的时间点t1、t2和t3。

5）带入数据，计算重力加速度值。

3 实验数据与误差分析

3.1 实验数据

我们分别采用橡胶球、钢球和玻璃球進行了实验，所得数据如表1。

3.2 测量值偏小的原因分析

从表1可以看出，利用橡胶球所测得的g值明显偏小。我们认为这是因为橡胶球的材质偏软。比较不同小球产生的声波图（图2、图3）可以发现，橡胶球每次碰撞时有相对较长的发声时间，说明它与桌面发生碰撞时需要相对较长的恢复弹性形变的时间，而这导致了两次碰撞的时间间隔显著大于了小球在空中运动的时间。也就是说，自由落体运动的时间偏大了，g值自然会偏小。

3.3 测量值偏大的原因分析

从表1还可以看出，采用钢球和玻璃球的测量值都偏大，且采用钢球的测量值偏差更大。我们认为这是由于实验中碰撞恢复系数并不能保持恒定所致。小球第二、三、四次碰撞的恢复系数测量数据如表2所示。

虽然理论上同种材料恢复系数保持不变，但从表2可以看出，实际上e值是有变化的，而且有固定的变化趋势。正如文献[1]中所说：由于碰撞双方为准刚体，随着小球反弹高度的降低，碰撞初速度减小，恢复系数会逐次增加。而钢球的恢复系数相对较小，前后两次碰撞的初速度相差会大一些，因而钢球恢复系数的增幅也会大一些。我们在推导公式（4）时，是用第二次碰撞的恢复系数代替了第一次碰撞的恢复系数，从而求得了第一次碰撞后小球反弹的高度H2=e2H1。由于e偏大，导致H2偏大，进而导致了g值偏大。e值偏差越大，g值偏差就越大，所有采用钢球的测量值偏差会更大一些。

4 结 论

从以上的分析可以看出，要用落球弹跳法准确测量重力加速度需要满足两个重要的条件：第一，小球碰撞中恢复弹性形变的时间可以忽略不计；第二，碰撞中恢复系数变化很小。为此，实验中发生碰撞的物体应具有较大的硬度和较高的恢复系数。文献[1]中的钢球与玻璃板的组合以及本文中玻璃球与桌面的组合正是满足了上述两个条件才取得了比较理想的实验效果。

参考文献：

[1]王梅，宗晓纬.用DIS测量重力加速度g值的四种方法比较[J].物理教学探讨，2015，33（10）：54-56.

[2]何捷，陈继康，戴琳.大学物理实验[M].南京：南京师范大学出版社，2010：48.

[3]耿宏章，张卫强，周开学.恢复系数的测量[J].物理实验，2002，23（1）：39-41.

[4]Oliver Schwarz，Patrik Vogt，Jochen Kuhn.Acoustic measurements of bouncing balls and the Determination of gravitational acceleration[J].The Physics Teacher，2013，51（5）：312-313.

[5]漆安慎，杜婵英.力学[M].北京：高等教育出版社，2005：138-139.

[6]宋红霞.能量按比例转化（转移）的题型例析[J].物理教师，2012，33（12）：20-21.

（栏目编辑 王柏庐）