基于改进灰色马尔科夫模型的木材需求量预测

李义华，杜 康，周 洁

（中南林业科技大学，湖南 长沙 410004）

基于改进灰色马尔科夫模型的木材需求量预测

李义华，杜 康，周 洁

（中南林业科技大学，湖南 长沙 410004）

以木材需求量2005―2013年数据为原始数据，建立了传统灰色、无偏灰色和滑动无偏灰色模型，并分别以3种模型预测2014―2015年木材需求量。通过检验模型的拟合效果和对比预测的相对误差，选取预测效果最优的滑动无偏灰色模型为待修正模型。以滑动无偏灰色预测数据的相对误差分布为状态划分依据，考虑实际情况对一般马尔科夫修正方法进行优化，以优化的修正方法对预测数据进行修正。最终结果表明：当进行改进马尔科夫修正时，滑动无偏灰色预测模型的平均相对误差从6.44%降至1.49%，预测误差减少4.95%，预测精度明显提升，能够为我国未来木材需求量的准确预测提供可靠的理论依据。

灰色模型；滑动无偏灰色模型；马尔科夫模型；木材需求量

出于对我国环境和资源的保护，政府出台一系列禁伐、限伐政策防止森林资源的过度消耗，然而随着经济持续增长，特别是建筑、房地产和装饰装修等行业的蓬勃发展，导致对木材的需求量暴增，木材供需矛盾凸显。国内木材供应量严重不足，2005―2015年木材国内供给量占木材总供给的比例不足60%，2015年我国的木材供给中有48.3%是进口木材[1]。木材既是社会生产资料也是重要的民生物资，实现木材的供需平衡是关乎我国木材行业安全，乃至整个国民经济发展的重大战略问题。准确的木材需求量预测对政府制定合理政策解决木材供需矛盾、稳定木材进口渠道提供客观依据，同时也对我国木材进口企业的运作实践具有一定的指导意义。

当前，木材需求量的预测研究方法主要有系统动力学模型[2]、回归模型[3]、消耗结构模型[4]和传统灰色模型[5]等。系统动力学要求在全面分析木材需求时变系统的基础上建立变量体系，进行需求预测，分析过程难免主观判断且欠全面。回归模型自变量选择可能忽略了某些因素的影响，且指标之间可能存在多重共线性，在数据列存在较大波动时预测误差较大。消耗结构理论出于对未来木材消耗结构、消耗强度的预期，带有一定的主观性，且难以检验模型的预测精度。传统灰色模型的短期预测精度较高，但其在长期预测以及对小样本数据的预测方面精度欠佳[6]。马尔科夫链作为一种基于概率矩阵状态转移的预测方式正好弥补传统灰色预测的不足，然而传统的马尔科夫链在修正小样本数据时依然存在较大的偶然性。

考虑到当前木材需求量预测研究存在的局限性，将滑动无偏灰色预测辅以马尔科夫修正，并对一般马尔科夫修正过程进行合理优化，建立改进灰色马尔科夫模型。首先在传统灰色模型基础上建立无偏灰色模型，再滑动处理原始数据以消除异常值影响，建立滑动无偏灰色模型对原始数据进行拟合和预测，以历年拟合相对误差划分状态区间，采取逐年修正、追加原始数据的方式优化传统马尔科夫并对预测数据进行误差修正，以得出更准确的预测结果。

1 模型建立

1.1 数据的滑动处理

设原始数列为：

对原始数据X(0)进行一次加权滑动平均处理后，得：

加权平均处理过程：

1.2 无偏灰色预测模型

设无偏GM（1，1）模型的参数为u，A， 则对原始序列做一次累加得：

由传统GM（1.1）方法建模得：

由此可求得用传统GM（1.1）模型参数a，b表示u和A的估计为：

建立原始数据序列模型：

1.3 马尔科夫误差修正模型

1.3.1 状态划分

马尔科夫修正是通过一组具有近似平稳过程的数据列来预测新数据所处状态的方法，要求用于划分状态区间的数据具有近似的平稳过程。因此，当数据序列存在较大波动且近似平稳时，对原始数据进行状态区间划分，此时以预测曲线为基准线向上下两边分别做m和n条与之平行的曲线，将原始数据划分为个m+n个状态区间[7]。当预测数据序列波动不明显时，考虑分析其预测相对误差数据，在相对误差数据近似平稳时，对相对误差进行状态区间划分，此时以X轴为基准线进行划分[8]。

1.3.2 转移概率矩阵计算

利用m步状态转移概率的计算公式：

式（8）中：Mij(k)—由状态Ei经过k步转移到状态Ej的原始数据的个数；Mi—处于状态Ei的原始数据的个数；Pij(k)—由状态Ei经过k步转移到状态Ej的概率，则k步状态转移概率矩阵为：

1.3.3 误差修正

确定初始状态后，转移概率最大的数所在列即为未来状态区间。用wi-和wi+分别表示第i个状态区间的上下界，表示马尔科夫修正后预测值，表示滑动无偏灰色预测值，取相对误差状态区间的中位数来计算未来修正预测值，具体计算公式如下：

1.4 模型检验

灰色模型的一般检验主要通过残差检验和后验差检验，指标包括相对误差、均方差比值、小误差概率。在此引入灰色绝对关联度作为检验指标，检验预测数据列与原始数据列的相关程度。下面对灰色绝对关联度的计算进行说明。

（1）灰色绝对关联度计算

离散序列Xi与Xj的灰色绝对关联度（记作r(Xi，Xj)）为：

式（11）中，|si|，|sj|，|si-sj|分别表示离散序列互相邻接形成的折线积分。考虑到木材需求量数据是一年的累积数据，积分的插值处理不宜采用样条插值法[9]，因此通过MATLAB中trapz函数求取离散点互相连接形成的折线区域面积来表示|si|，|sj|，|si-sj|。

（2）模型精度检验表

通过计算得出相对误差、均方差比值、小误差概率、灰色绝对关联度数据，参照模型精度等级表对模型的精度进行检验，如表1所示。

表1 精度检验等级参照Table 1 Grade of model precision test

2 模型仿真

选取2005―2015年的国内木材需求量作为原始数据序列，具体数据见表2。（数据来源于《中国林业发展报告》）

原始数据序列经滑动处理后的数据见表3。

表2 木材需求量Table 2 Wood demand data

表3 处理后数据Table 3 Wood demand data with processing

2.1 3种灰色模型的应用比较分析

考虑数据的可得性，选取2005—2013年木材需求量数据，分别建立传统灰色模型、无偏灰色模型和滑动无偏灰色模型，并以3种模型分别预测2014、2015年的木材需求量。一方面通过分析模型的拟合相对误差、平均相对误差、灰色关联系数等模型检验数据评价模型的数值拟合效果，另一方面通过比较2014、2015年木材需求量预测值与实际值的差值，对模型的精度进行评价。

2.1.1 3种模型拟合效果分析

以表2、表3中2005-2013年木材需求量数据分别建立传统灰色、无偏灰色模型和滑动无偏灰色模型，3种模型的数值模拟结果及相对误差见表4。

表4 模拟结果Table 4 The prediction results

将3种模型的拟合效果进行比较，结果如下图1所示。

图1 3种模型拟合效果比较Fig.1 Comparison of simulation results by three prediction methods

下面对3种拟合模型进行检验，结果见表5。

表5 模型精度检验Table 5 The verification of model precision

由图1可见，3种灰色拟合模型的精度相差不大，改进灰色拟合模型的拟合效果提升并不明显。结合精度检验表1，分析表4中拟合结果数据知，3种灰色模型的拟合相对误差除了在2008、2011年为二级以下，其他年份均为二级以上，拟合效果较好。从表5的模型精度检验结果可以看出，传统灰色模型和无偏灰色模型的精度基本一致，相反，改进的滑动无偏灰色模型的精度稍低于前两种模型，这主要是因为滑动处理对初值以及异常值的影响，滑动处理改变原始数据初值，产生其他两种模型不存在的固有误差，相对来说这种固有误差在数据量较少时表现的更加明显。此外，滑动处理是一种针对异常值的修正方法，当数据序列较短时，异常值对拟合误差的影响相对较小，因此滑动处理对最终误差的改进效果并不明显；当数据序列变长时，滑动处理修正异常值的方法才显现出优势。笔者在对2005—2015年数据进行拟合实验时发现，滑动无偏灰色模型的拟合效果提升明显，各项模型精度检验指标均优于或与传统灰色、无偏灰色拟合相当。

2.1.2 3种模型预测精度比较

由于以上建立的3种模型拟合效果相当，且由于存在初值、异常值以及数据量少的影响，无法客观的判别出最优模型，以下分别以建立的3种模型对2014、2015年木材需求量进行预测，预测结果见表6。

表6 预测结果Table 6 The results of prediction

以上预测结果表明，滑动无偏灰色模型的预测精度优于传统灰色和无偏灰色模型，因此选择滑动无偏灰色预测模型进行马尔科夫修正，以进一步修正误差、提高预测精度。

3 滑动无偏灰色模型的马尔科夫修正

马尔科夫修正要求误差的变化过程近似平稳。根据滑动无偏灰色模型拟合值与实际值的相对误差绘制误差变化图，如图2，图中显示滑动无偏灰色模型的拟合相对误差变化过程近似平稳，因此将采取马尔科夫理论预测2014、2015年木材需求量预测的相对误差，并以此对预测值进行修正。

图2 拟合相对误差分布Fig.2 Distribution of prediction relative error

3.1 状态区间划分

马尔科夫的修正效果与状态区间的划分关系紧密，原则上分区越详细越好，另外，分区的前后阈值选择也会影响修正效果。通过不断实验调整，最终将相对误差变化分为4个状态区间，如表7、图2。

表7 相对误差状态划分Table 7 State division chart of relative error

3.2 转移概率矩阵求解

由于最后一年数据的转向并不确定，因此不考虑该年数据。依据状态转移概率公式分别计算一步、二步转移概率矩阵，处于状态的数据个数分别为 1、4、2、1，处于状态E1、E2、E3、E4的数据经一步转移至状态E3，因此p(1)中第一行第三列数据为1，处于E2状态的数据有2个一步转移至状态E1，1个转移至状态E3，1个转移至状态E4，因此对应的转移概率分别为1/2、1/4、1/4，同样方法计算求得一步、两步转移概率矩阵如下：

3.3 马尔科夫修正

图2显示，2013年木材需求量数据的拟合相对误差处于状态E2，通过观察一步状态转移概率矩阵，2014年的预测相对误差将转移至状态E1，由预测值修正公式对2014年预测值进行马尔科夫修正得2014年修正值为5.350 8×108m3。

以两步转移概率矩阵对2015年预测值进行修正时，p(2)第二行的概率均为1/3，此时无法直接确定2015年预测相对误差的状态区间。针对该情况的一般做法是以p(3)甚至更多步的状态转移概率矩阵作为参考进行预测值修正，但由于数据列本身较少，考虑k步状态转移时，数据列的最后k个数据转向不确定，可用数据减少，针对数据进行状态划分而求得的状态转移概率矩阵偶然性增大，最终将使预测值修正的误差增大，且在p(3)甚至更多步状态转移出现同样情况时，可用数据将进一步减少。因此，本研究考虑每次只通过一步转移概率矩阵修正一年的数据，并把修正后数据作为新数据放入原始数据序列，再以滑动无偏灰色模型预测下一年的数据，重新划分状态区间，求解一步状态转移概率，对下一年数据进行马尔科夫修正，依次循环预测与修正过程，直至求得所有年份的修正值。

首先将2014年修正值放入原始序列得到修正后的2005―2014年木材需求量原始序列，对该原始序列进行滑动无偏灰色预测，得2015年预测值为5.813 9×108m3，2005―2014年模型拟合值及相对误差如表8，对相对误差数据进行状态区间划分、转移概率矩阵求解，过程与之前相同，在此不再复述，得2015年修正值为5.697 7×108m3。

表8 2005―2014年模型拟合及相对误差Table 8 The fitted values and relative error from 2005 to 2014

将修正后2014―2015年预测值与滑动无偏灰色预测值进行比较，如表9。数据显示，滑动无偏灰色预测的平均相对误差为6.44%，依据模型精度检验表1，2014年预测精度等级为二级，2015年为三级，整体预测精度等级为三级，预测精度较低；而改进马尔科夫修正后模型平均相对误差为1.49%，2014年预测精度等级为一级，2015年预测精度等级为二级，整体预测精度等级为二级，非常接近一级，模型的预测精度提升了4.95%。

表9 模型修正前后对比Table 9 The comparison of fitting model and unfitting model

4 结论与讨论

结合灰色系统和马尔科夫理论，以多种模型对木材需求量进行拟合和预测，选取出最优模型进行马尔科夫修正。预测结果表明，优化后的马尔科夫修正能在一定程度上降低小样本数据在修正时的误差，滑动无偏灰色预测辅以优化后的马尔科夫修正模型预测精度较高，能够为我国木材需求量预测提供有效的理论依据。

此外，在众多预测方法中，一般马尔科夫预测模型是在完全预测出所有待测年份的数据后，以一步、两步及多步转移状态概率矩阵确定预测值所处的状态区间；当出现转移状态无法确定时，参考下一步的转移状态概率矩阵，依次类推。此种预测模型在求解多步转移状态概率矩阵将导致原始数据的损失，步数越多，损失数据越多。在样本数较少时，原始数据损失将导致转移状态概率矩阵求解的偶然性增加，相对误差增大，影响模型的修正效果。本研究出的集成预测模型在原有预测模型基础上对一般马尔科夫预测误差修正进行了优化，解决了小样本数据在进行马尔科夫误差修正时的数据损失问题，进一步提高了模型的预测精度。本研究预测模型存在一些不足，该方法每次只能修正一年数据，修正后同时需将修正值纳入原始数据序列再次进行预测，如此重复，预测过程中需重新进行状态区间划分、转移状态概率矩阵求解，且状态区间需进行多次重复划分才能得出最优划分。因此，在预测年份较多时，整个预测过程较为繁琐。为了进一步优化该理论模型，在后续的研究中，我们将对小样本预测的状态区间划分问题进行深入的研究。

[1]中国国家林业局.中国林业发展报告[R].北京:中国林业出版社,2016:1-15.

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Prediction of the wood demand by improved grey Markov mode

LI Yihua, DU Kang, ZHOU Jie
(Central South University of Forestry and Technology, Changsha 410004, Hunan, China)

Grey model was established, unbiased grey model and sliding unbiased model by taking the Timber demand from 2005 to 2013 as the original data, timber demands in 2014-2015 were predicted respectively. Through comparing the relative error of prediction and the fi tting effect, the optimal prediction model-sliding unbiased grey-forecasting model was selected as correction model. With taking relative error of the sliding unbiased grey prediction as classi fi cation basis, the general Markov method is optimized considering the actual situation and the optimized Markov was applied to fi tting forecast data. Final results show that the improved Markov combined with the sliding unbiased grey forecasting model of average relative error was from 6.44% to 1.49%, and 4.95% less prediction error, the prediction accuracy is improved signi fi cantly, can provide reliable theoretical basis for accurate prediction of wood demand in future.

grey model; sliding unbiased grey model; Markov model; wood demand

10.14067/j.cnki.1673-923x.2017.12.021

http: //qks.csuft.edu.cn

S757.4+7

A

1673-923X(2017)12-0133-06

2017-06-17

湖南省教育厅科学研究重点项目“不确定条件下木材供应链协同优化研究”（16A225），中南林业科技大学博士后基金资助“不确定市场环境下木材供应链协同优化机理及其应用研究”（049-0031）

李义华，副教授，博士；E-mail：linature@yeah.net

李义华，杜 康，周 洁. 基于改进灰色马尔科夫模型的木材需求量预测[J].中南林业科技大学学报，2017,37(12):133-138.

[本文编校：文凤鸣]