2017年高考天津卷理科第20题命题手法探究

福建省泉州市泉州第五中学 杨苍洲 (邮编：362000)

2017年高考天津卷理科第20题命题手法探究

福建省泉州市泉州第五中学 杨苍洲 (邮编：362000)

研究函数图象与其切、割线之间的关系可以得到各种各样的不等式.2017年高考天津卷理科压轴题就是通过观察函数图象与其切线的关系,从而提出问题,命制试题的.

高考;压轴题;命题手法

1 试题展示

题 (2017年高考数学天津卷)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)＝2x4＋3x3－3x2－6x＋a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.

(Ⅰ)求g(x)的单调区间;

(Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)＝g(x)(m－x0)－f(m),求证：h(m)h(x0)＜0;

(Ⅲ)求证：存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p、q,且∈[1,x0)∪(x0,2],

2 命题手法探究

研究完试题的解题方法之后,笔者思考了更深层次的问题——试题的编制手法.命题者是如何编制出试题的呢?其命题手法是否可以模仿、借鉴?通过探究,笔者发现,命题者主要通过研究函数图象与其切线的关系,从而得到不等式,并提出问题.

2.1 问题(Ⅱ)的命题思路

设定义在区间D上函数f(x)满足：①单调递增,②下凹,③有唯一零点x0.

如图1,曲线y＝f(x)在点P(t,f(t))的切线为l1,过T(x0,0)作平行于直线l1的 直 线l2：y＝f′t()(x －x0),直 线x＝m与直线l2、曲线y＝f(x)分别相交于M、N两点,则yM－yN＝f′t()(m －x0)－f(m).

图1

下面我们来研究当P、N重合或P、T重合时的两种极限情况.如图2、图3,由图可知：若P、N重合,则yM－yN＞0;若P、T重合时,则yM－yN＜0.

图2

图3

若构造函数h(x)＝f′(x)(m－x0)－f(m),即可得：h(m)h(x0)＜0.

由此可得问题(Ⅱ).

2.2 问题(Ⅲ)的命题思路

如图4,PQ⊥x轴于Q,l1与x轴交于点S(xS,0),由图可知：TQ ≥SQ ,即|t－x0|≥|t－xS|.

由 于 l1：y ＝f′t()(x －t)＋ft(),

图4

又因为p、q、a均为整数,所以|2p4＋3p3q－3p2q2－6pq3＋aq4|是正整数,从而|2p4＋3p3q－3p2q2－6pq3＋aq4|≥1,所以

故存在大于0的常数A＝g(2),使得对于任意的正整数p、q,且∈[1,x)∪(x,2],满00

由此编制得问题(Ⅲ).

3 新题命制

基于对2017年高考天津卷理科压轴题命题手法的研究,仿照其手法,借助几何画板,通过数形结合,笔者编制试题如下,与读者共赏.

题1 已知函数f(x)＝lnx＋ax(a＞0),f′(x)为f(x)的导函数.

(Ⅰ)求曲线f(x)在点 1,f(1)( )处的切线方程;

(Ⅱ)若m∈R,x0为函数f(x)的零点,函数g(x)＝fx()－f′m()x－m( )－fm() .求证：g(x0)≤0.

当m＜x0时,φ′(m)＜0;当m＞x0时,φ′(m)＞0.

故φ(m)≥φ(x0)＝lnx0＋ax0＝0,因此g(x0)≤0.

题2 已知函数f(x)＝ex＋ax,f′(x)为f(x)的导函数.

(Ⅰ)讨论f(x)的单调区间;

(Ⅱ)若a＞0,证明f(x)有唯一零点x0,并比较x－与x的大小.0

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设函数h(x)＝f′(x)(m－x0)－f(m)(m∈R,m≠x0),

求证：h(m)h(x0)＜0.

解析 (Ⅰ)f′(x)＝ex＋a.

(i)当a≥0时,f′(x)＞0,故f(x)的单调递增区间为R;

(ii)当a＜0时,当x＞ln(－a)时,f′(x)＞0;当x＜ln(－a)时,f′(x)＜0.故f(x)的单调递增区间为 (ln(－ a),＋∞),单调递减区间为 (－ ∞,ln(－ a)).

(Ⅱ)当a＞0,f(x)在R单调递增,

令g(x)＝f(x)－f′(x)(x －x0),

则g(x)＝ex＋ax－ e(x＋a)(x －x0),g′(x)＝－ex(x －x0).

当x＞x0时,g′(x)＜0;当x＜x0时,g′(x)＞0.

故当x＝x0时,g(x)取得最大值g(x0)＝0.

(Ⅲ)函数h(x)＝f′(x)(m－x0)－f(m)(m∈R),求证：h(m)h(x0)＜0.

由(Ⅱ)知,当m≠x0时,h(m)＝f′(m)(m－x0)－f(m)＞0 ①

下证h(x0)＝f′(x0)(m－x0)－f(m)＜0.

令φ(x)＝f′(x0)(x－x0)－f(x)(x≠x0),则φ′(x)＝f′(x0)－f′(x)＝ex0－ex.

当x＞x0时,φ′(x)＜0;当x＜x0时,φ′(x)＞0.

故φ(x)＜φ(x0)＝0,

即f′(x0)(x－x0)－f(x)＜0,h(x0)＝f′(x0)(m－x0)－f(m)＜0 ②

由①②得,h(m)h(x0)＜0.

1 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社,2003

2 杨苍洲.2015年高考湖北文科卷压轴试题的命题手法探究[J].中学生理科应试,2017(4)：2-3

2017-08-26)