C*代数值b-度量空间上的一个不动点定理

麻振华 冀 凯 孙志田 赵丽娟 谢 聪

(河北建筑工程学院数理系，河北 张家口 075000)

C*代数值b-度量空间上的一个不动点定理

麻振华 冀 凯 孙志田 赵丽娟 谢 聪

(河北建筑工程学院数理系，河北 张家口 075000)

在C*代数值度量空间基础上给出了C*代数值b-度量空间上的一个不动点定理.此定理推广了一般b-度量空间中的相关定理.

C*代数值b-度量空间；压缩映射；不动点定理

1 引言与基本概念

2014年麻振华等人推广了一般度量空间和b-度量空间，分别称之为C*代数值度量空间[1]和C*代数值b-度量空间[2]，并在这两类度量空间中分别给出了一些不动点定理.本文在文献[1]和[2]的基础上给出了C*代数值b-度量空间中的一个不动点定理，此定理推广了一般b-度量空间的相关定理.

我们先回顾与本文有关的概念.

本文中，我们始终用A表示具有单位元I的单位C*代数.令Ah={x∈A∶x*=x}.我们称x∈A为正元(记为x≥θ)，如果x∈Ah且σ(x)⊂R+=[0,∞)，其中σ(x)为x的谱.正元自然具有偏序关系“≤”如下：x≤y当且仅当θ≤y-x，其中θ为A中的零元.分别记A+{x∈A∶x≥θ}，|x|2=x*x，A′={a∈A∶ab=ba}.有关算子代数知识可见文献[5,6].

定义1[2]设X是非空集合，B为C*代数A中满足B≥I且属于A′的元素.若映射d∶X×X→A满足以下三个条件：

(1)d(x,y)为正算子，即d(x,y)≥θ(∀x,y∈X)且d(x,y)=θ⟺x=y；

(2)d(x,y)=d(y,x)(∀x,y∈X)；

(3)d(x,y)≤B[d(x,z)+d(z,y)](∀x,y,x∈X).

则称d是X上的C*代数值b-度量，称(X,A,d)是C*代数值b-度量空间.

定义2[7]设(X,A,d)为C*代数值b-度量空间,{xn}⊂X及x∈X.

3)称(x,A,d)为完备的C*代数值b-度量空间，如果任何柯西列均收敛.

2 主要结果

证明：任取x0∈X，作迭代序列xn+1=Txn=…=Tn+1x0,(n=0,1,2,…).注意到在C*代数A中,若a,b∈A+且a≤b，则对任意x∈A都有x*ax和x*bx都是正算子且x*ax≤x*bx[6]，为方便起见，本文中记B0=d(x1,x0).因此

从而对∀m,p≥1，

又由于φ的连续性，当n→∞时

所以x*∈X为不动点.

下证不动点的唯一性.如果y*∈X也为T的不动点，即Ty*=y*.则由定理条件可得

θ≤d(x*,y*)=d(Tnx*,Tny*)≤φn(d(x*,y*))→θ

所以，d(x*,y*)=θ，故x*=y*，即不动点唯一.

[1]Ma,ZH,Jiang,LN,Sun,HK.C*-Algebras-valued metric spaces and related fixed point theorems.Fixed Point Theory and Applications.2014,206(2014)

[2]Ma,ZH,Jiang,LN.C*-Algebras-valued b-metric spaces and related fixed point theorems.Fixed Point Theory and Applications.2015,222.

[3]DOUGLAS R G.Banach Algebra Techniques in Operator Theory[M].New York:Springer,1998：80～83

[4]Murphy,GJ.C*-Algebras and Operator Theory.Academic Press,London(1990)

[5]许全华，吐尔德别克，陈泽乾.算子代数与非交换Lp空间引论[M].北京：科学出版社，2010：1～22

[6]GERARD J M.C*-algebra and operator theory[M].American:Academic press,inc,1973：77～87

AFixedPointTheoremofC*algebra-Valuedb-MetricSpace

MAZhen-hua,JIKai，SUNZhi-tian,ZHAOLi-juan，XIECong

(School of Mathematics and Physics,Hebei University of Architecture,Zhangjiakou 075000,China)

Based on the concept of C* algebra-valued metric spaces,a fixed point theorem of C* algebra valued b-metric space is given in this paper.This theorem generalizes the related theorems in general b-metric spaces.

C*-algebra-valued b-metric spaces;contraction map;expansive map

2017-03-20

河北省教育厅青年基金项目(QN2016191),河北建筑工程学院青年基金项目(QN201411)

麻振华(1981-)，男，副教授.

10.3969/j.issn.1008-4185.2017.03.029

O177.92

A