从几个不同角度思考一道平面向量题

江苏 张路民

从几个不同角度思考一道平面向量题

江苏 张路民

最近笔者听了一堂高三一轮复习课《平面向量基本定理和坐标表示》，课堂上师生们在共同探讨一道习题时，经历了一些波折也遇到了一些困难，其中有些思路中途夭折未能进行到底.笔者细细琢磨了一番，觉得甚是有趣，现将笔者的一些想法分享如下：

分析：这道题考查的知识点是平面向量的基本定理，研究的策略无非是基底法与几何法.课堂上学生从不同角度进行思考，但最终不是因为过程繁琐就是思路卡壳难以进行到底.

下面笔者就这个问题分别从坐标法、基底法和几何法三个不同的角度对本题加以诠释.

一、坐标法

向量是既研究大小又研究方向的量，利用坐标法解决向量问题往往能够使问题简化，另外我们都知道解决填空题有别于解答题，只要能算出答案就可以，其中特值特例就是一种非常有效且简易的手段.本题可以将问题特殊化即把梯形看成直角梯形，为使计算方便还可以将边长取特殊值.

解法1：将梯形ABCD看成直角梯形，且设AB=4，AD=2,如图建立直角坐标系，结合2DC=AB,M,N分别是DC,BC中点，则A(0,0),B(4,0),D(0,2),C(2,2)，M(1,2),N(3,1).

小结：本题巧妙地利用了梯形的任意性，采用特殊代替一般的处理原则，使问题解决简捷快速.因此，这一方法对于解决选择题和填空题非常有效，但此方法处理并不具有普遍性，需要解题者自己去把握与权衡.

二、基底法

平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内不共线的两个向量,那么对于这个平面内的任一个向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底.因此在具体操作过程中,选取哪两个向量作为e1、e2以及如何用选取的e1、e2表示a，将是解决问题的关键，也是难点所在.

三、几何法

向量题是高中数学的重点、热点考点.解题时可以从数与形两个角度考虑，代数法证明思维量小但计算量都较大.相对于代数法,几何法的优势在于直观且计算量小,找到向量的几何意义后,问题就能迎刃而解,它是求解向量问题的有效策略之一,对于运用几何法解决向量题应该引起我们足够的重视.

解法4：如图，延长AN与DC的延长线交于点E.

因为DC∥AB,点N是BC的中点，

所以CEAB,AN=NE，即

又因为点M是DC中点且AB=2CD，

解法5：如图，连接BD,连接MN并延长与AB的延长线交于点E.

解法6：如图，延长AM,BC交于点E,

因为AB∥DC,且AB=2DC，

又点M为DC中点，所以AE=4ME,BE=4CE,

江苏南京市大厂高级中学)