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数学意识:在感性与理性中默化

2017-12-13江苏省南京市长江路小学周卫东

河北教育(教学版) 2017年9期
关键词:意识思想数学

○江苏省南京市长江路小学 周卫东

数学意识:在感性与理性中默化

○江苏省南京市长江路小学 周卫东

编者按:数学意识是形成良好数学品格的核心与关键。厘清数学意识的内涵,掌握培养学生数学意识的有效策略,是促进数学核心素养“落地”的基础和前提。

什么是数学意识?

先来看一则例子。1980年,陈省身在北大的一次讲学中语出惊人:“人们常说,三角形的内角和是180°,但是,这话是不对的!不是说事实不对,而是说这种看问题的方法不对,应该说,三角形的外角和是360°。把眼光盯住内角,只看到三角形的内角和是180°,四边形的内角和是360°,五边形的内角和是540°,n边形的内角和是(n-2)×180°,如果看外角呢?所有的多边形的外角和都是360°。”显而易见,陈省身教授这种看待问题的视角,足以说明他有着高于常人的数学意识。

再比如,在平常的教学中,学生会计算“50÷5”,说明他掌握了数学的基础知识与基本技能;会解决“50本作业本,平均分给5组同学,每组多少本子”这样的问题,说明他具有一定的分析和解决问题的能力;看到老师拿来5根长绳分给全班50位同学进行跳绳比赛,立即想到“50÷5”这个算式,这才说明具有一定的数学意识。

意识,作为动词,即“意识到”的活动;作为名词,是与活动相对应的结果(知识)。相对应的,数学意识作为人脑对客观世界的数量关系和空间形式的反映,它有两方面的含义:其一,作为人脑的反映,数学意识是主体能动地自觉运用数学的观点去分析、处理问题的思维习惯。其二,作为数学活动的结果,数学意识主要包括数学概念、原理、公式、定理所运用的数学思想方法及其知识。二者相辅相成,辩证统一于数学活动过程之中。

当下的教育在努力追求一种境界,那就是教给学生“带得走的东西”,而数学学习中“带得走的东西”,就包括学生忘掉具体数学知识以后,依然能从数学的视角去分析和研究问题的思维习惯,是一种植根于内心的数学素养和无需提醒的文化自觉,即:数学意识。因此,通俗地讲,数学意识是自觉地从数量关系和空间形式的角度认识世界的一种头脑与眼光。数学意识能自觉地指导、调节、监控学生的数学活动,使其行动具有目的性、方向性和预见性。

数学意识通常包括初步的符号意识、建模意识、数据分析意识、应用意识等。数学意识体现在日常生活的方方面面,可谓如影随形。

比如,麻将算得上是一种国粹,稍加分析,这种娱乐活动中蕴含着丰富的数学意识。其一是模型意识,你要问这些身经百战的麻将高手,到底怎样才算是和牌了?虽然很难一言以蔽之,但他们往往能一类一类地给你讲一些具体的牌局,这些具体的基本上已经固化了的牌局,就是一种基本的模型;其二是数据分析意识,对运行中的各种情况进行预测,什么牌可以打,什么牌不能打,展现出具体的数据分析意识;其三是应用意识,在这种非数学情境中能够数学化地解决实际问题,是数学思想方法被内化为数学意识和数学能力后的自觉应用,这是数学意识的自然流露。

数学具有得天独厚的工具价值,特别是在日益“数字化生存”的今天,社会发展呈现出显著的数学化趋势,连许多过去与数学似乎沾不上边儿的领域都被纳入了数学的版图,并因此取得了长足的进步。人们现在越来越意识到,高科技中的问题在本质都是数学问题;这种认识本身正是数学意识的升华。

那么,在日常的教学中,我们该如何培养学生的数学意识呢?

一、在数学与生活牵手时萌发

尽管近现代数学的发展给人以“越来越远离我们的生活”之印象,但是,数学的起源与发展无时无刻不与我们的生活紧密相连。小学数学基本上都属于“初等数学”的范畴,几乎毫无例外地都与儿童生活和社会经验联系紧密。因此,在小学数学教学中,联系儿童生活和社会经验来展开学习活动是极其自然的事情。

我们要有意识地把数学概念、法则、性质、定律等要素寓于学生熟悉的生活情境与现实问题之中,以形象、具体、生动可感的生活内容与形式为载体,呈现数学知识、传输数学信息、提出数学问题,并引导学生身临其境,投入其中。比如,如何让学生理解“在四则混合运算中,先做乘除后做加减”?对学生直陈“这是一种规定”未必不能算一种教法,但这样的教学,泯灭了数学的灵性,逼仄了学生的思维与求知欲。著名特级教师刘松独到的做法令我们深受启迪。他创设了一个情境:“同学们,大家都已经会计算115-15×4这道算式了,每个算式都是有生命的,你能围绕这道算式编个故事吗?”并给出了足够的时间让学生思考、书写。随后,学生调动自己的生活经验和丰富的想象力,讲出了若干属于“自己的故事”:“公园里的成人票每张30元,儿童票15元,小明有115元,买了4张儿童票,还剩多少元?”“学校有115把新椅子,每班配15把,配了4个班,还剩多少把?”“一个师傅和四个徒弟比赛扎灯笼,师傅共扎了115个,徒弟每人扎15个,师傅比徒弟多扎多少个?”故事讲完后,引导学生思考:“在这个故事中,如果先算减法会出现什么情况?”学生在想、辩的过程中,会顿悟:原来先做乘除后做加减的原理在这里,而不只是一种简单的规定。此过程中,学生编拟故事的过程,就是运用生活经验解释算理的过程,交流故事的过程则是理解、深化算理的过程。这样的教学,让数学与生活合理、合适地相遇,数学在生活中得到诠释,得到升华,此时,数学意识就会如种子般在学生的心智间自然、自发地萌发。

与此同时,还要注意的是,我们生活在广博的社会生活中,生活中蕴含着大量数学元素,我们要有意识地引导学生关注生活,并在观察、分析、比较生活材料的基础上,加以综合、归纳和抽象、概括,以处理和解决生活问题的策略、方法、事理、规律等事实依据,直觉感受与直接经验等进行迁移、类推、衍化和升华,探寻潜在的数学原理,发掘内隐的数学本质,领悟蕴含的数学内涵,建构、生成相应的认知结构和数学模型,从而真正实现“生活数学”向“学校数学”的过渡。

二、在问题与思维共振时驱动

心理学研究表明,意识到问题的存在是思维的起点,没有问题也就没有思维。

数学意识活动是一种思维过程,要培养学生的数学意识,首先应让学生有一双“慧眼”来发现问题,并尽可能地以“儿童”的方式来解决问题。什么是教学?有专家这样形象地描述:告诉学生11+3=14,这不是教学,问学生11+3等于多少,也不是教学,如果对学生说,11+3=15,你怎么看?这才是教学。较之前两者,第三种教法的可贵之处就在于:呈现在学生面前的是问题,是需要消耗“脑力当量”的“真问题”。这需要对问题本身先进行审视、判断,然后才能进行分析与解决。如此,长期以往,学生的眼光是通透的而非模糊的,学生的思维是多向的而非单一的,学生对问题的看法是辩证的而非绝对的。

小说家格雷厄姆·格林说过:“童年期肯定有一些时机,此时大门打开,让未来走进来。”儿童经常会用自己的一套理论异想天开。比如学习“笔算除法”一课,一位学生这样做(见下图),他说:“书本的除法竖式太麻烦了,这样写也很好算,加、减、乘不都这样写吗?”对这样看似非常可笑的问题,教师微笑着鼓励他查询资料、尝试自学三位数除以两位数,试验一下自己发明的除法竖式到底行不行,如果可行将为他申请发明专利。后来,这位学生写了几百字的小论文,发表在杂志上。再比如,教学“多位数的读写”一课,有一位学生质疑:“老师,数位的高低为什么一定要从左往右排?能不能从低往高排?”多好的问题!多好的教学资源!我放下预设,果断地接纳这“可遇而不可求”的生成资源,引导大家按刚才质疑的学生的思路进行尝试,让这种问题得到了妥善的、让其心悦诚服的回应。试想,如让学生长期浸润在这样的“问题场”域中,数学意识何愁不能驱动?

三、在探索与发现携手时形成

儿童文化蕴涵着可贵的哲学精神:自由、智慧、发现。数学意识的形成,与儿童的每一次的探索与发现是密不可分的。成人如果漠视儿童文化的诗性逻辑和游戏精神,其实质是成人文化专断,使儿童与其本真的生存方式相剥离。教师要做一个长大的儿童,理解儿童、成全儿童,大智若愚,在有趣的发现之旅中涵养儿童的数学意识。比如,我在教学“9的乘法口诀”时,听课老师评价我特别“懒”,没做一张ppt,没设计任何情境故事,也没有老老实实地做书本习题。课始,我亲切地对学生说:“课前周老师了解到,咱班小朋友都在家长的指导下背过9的乘法口诀,想不想露一手?”大家兴奋地背起来。“小朋友,哪一句比较容易错啊?”有的学生说,“六九五十四容易错,因为它和五九四十五很像,有时分不清是四十五还是五十四。”我就以“怎么知道六九是多少”为例,展开教学。学生们在研究单上用画图、转化成加法、借助熟悉的口诀等多元的方法证明“六九五十四”。我只用红笔在一组研究单上(从画图、加法算式、乘法算式到口诀)画了一个向下的箭头,写上“抽象”二字,可谓神来之笔。在整理出9句口诀之后,我退到讲台边上:“孩子们,好好观察9的口诀,你有什么有趣的发现?”一段安静的思考后,大家纷纷上台,这是当时学生们的黑板板书(如图)。最后,让他们展示各自推荐的一道好题,在彼此的分享中经历儿童乐、闻着数学味,循着数学意识的影子,流连忘返。

四、在方法和思想渗透时升华

数学意识与数学思想方法关系密切,数学意识是由数学思想方法内化、自觉化而产生的,所以数学意识活动实际上就是自觉运用数学思想方法处理问题的倾向。数学意识对数学活动起着定向、统摄和监控作用,这些作用的发挥取决于思想方法的运用程度。数学思想方法是数学意识的桥梁和中介,所以,我们要尽可能地在教学中重视数学思想方法,创设合适的教学环境,渗透数学思想方法,让学生感受、感悟数学思想方法的精妙,为他们形成良好的数学意识铺垫、蓄势。

数学思想方法往往隐含于数学基础知识之中,所以数学教师首先要充分挖掘教材中蕴藏的数学思想,然后引导学生通过观察、分析、概括,经历知识形成的过程,在问题解决中有意识地渗透数学思想方法,通过动手实践、合作交流等活动领悟数学思想方法,问题解决后要再次强调或引导学生自己归纳出思想方法。这样,才能让数学思想方法真正内化为学生素养结构中不可分割的一部分。比如,教学“解决问题的策略——假设”一课,课始,我先播放了一则“道边苦李”的动画小故事,抓住核心问题“王戎是怎么判断路边的李子是苦的”进行讨论,让学生透彻理解“假如路边的李子是甜的,怎么会没人摘下来吃”的道理,为假设思想的教学打下了孕伏。再比如,教学一年级的“比多少”一课,我故意在黑板上无规则地摆上若干个黄色圆片和红色圆片,让学生解决“怎么才能知道黄色的圆片多还是红色的圆片多,多多少个”等问题,这时,学生除了通过数的方法,还会自然而然地就会想到“一个对着一个摆”的方法,而这种方法的深处就是小学数学中常用的“一一对应”的数学思想。

五、在教师与学生相融时共生

数学意识的养成远不及数学知识的传承与数学能力的练就那么直接、具体、显性,教师没有现成的章法和固定的模式可以依循,在实施过程中操作也有一定的难度,同时其成果的显现与评价也难以量化。因而,数学意识的养成是一个长期的、复杂的、螺旋上升的过程,不可能一蹴而就,需要一以贯之、持之以恒。这就需要教师具有高度的自觉意识、高度的责任感和使命感,倾情投入,主动作为,凝聚自身和他人的教育智慧进行教学。

教育的根本目的在于“促进人的全面发展”,在于启迪人的智慧,给予人的发展方向、动力和潜能。学生数学意识的养成教育,将促进学生的数学意识逐步萌发、生成、发展,使其素养内涵得到较前更趋完善,结构更趋合理。让学生具有用数学思维和数学方法解决问题的心向和习惯,这无疑为他们认识客观世界提供了新的视角与工具,注入了应对未来社会和创造未来世界的新的动力、能力与智慧。同时,教学的过程是师生共同成长、双向发展的共赢过程,学生数学意识养成的研究,也必将促进教师的数学意识的觉醒、发展、升华,促进教师教育观念、教学视界和自身数学水平、教学智慧等进一步提升,促进教师教学行为与方式方法的与时俱进,获得时代性的变革与改进。

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