自主招生电学问题讲与练

2017-12-13江苏

教学考试(高考物理) 2017年5期

江苏吴俊

立足高考，直通自招，在讲练中感悟提升。

自主招生电学问题讲与练

在电学内容中，自主招生与高考有重叠的内容，如库仑定律、电阻定律、闭合电路的欧姆定律、楞次定律、法拉第电磁感应定律等，常用的方法有微元法、图象法、等效法、对称法、类比法、近似法、补偿法(电学实验)等。因为名校自主招生对学生的掌握程度要求更高，所以复习应考中还要补充学习均匀带电球壳壳内的场强和壳外的场强公式、电势公式、欧姆表、惠斯通电桥、电流的磁场表达式、反电动势、电流和电压的相位差等知识。

一、库仑定律的应用

库仑定律成立的条件，归纳起来有三条：(1)电荷是点电荷；(2)两点电荷是静止或相对静止的；(3)只适用真空。

【例1】(2013·华约自招)“顿牟缀芥”是两千多年前我国古人对摩擦起电现象的观察记录，经摩擦后带电的琥珀能吸起小物体。现用下述模型分析探究。

在某处固定一个电荷量为Q的点电荷，在其正下方h处有一个原子。在点电荷产生的电场(场强为E)作用下，原子的负电荷中心与正电荷中心会分开很小的距离l，形成电偶极子。描述电偶极子特征的物理量称为电偶极矩p，p=ql，这里q为原子核的电荷。实验显示，p=αE，α为原子的极化系数，反映其极化的难易程度。被极化的原子与点电荷之间产生作用力F。在一定条件下，原子会被点电荷“缀”上去。

(1)F是吸引力还是排斥力?简要说明理由；

【解析】(1)F为吸引力。理由：当原子极化时，与Q异性的电荷移向Q，而与Q同性的电荷被排斥而远离Q。这样异性电荷之间的吸引力大于同性电荷的排斥力，总的效果是吸引。

(3)设电荷Q带正电(见图1)。电荷Q与分离开距离l的一对异性电荷间的总作用力为

图1

实验显示，p=aE，而电荷Q在离它h处的原子所在地产生的电场大小为

于是，电荷Q与极化原子之间的作用力为

【点悟】本题在库仑定律的基础上，加设了电偶极矩、极化公式等信息，这需要在审题时反复读题，找出题眼。在运算中，又设置了微小量的近似运算，这种方法要掌握。

有关库仑定律的命题可以单独命制，也可以综合命制，如高考复习中的三个电荷中的平衡问题；库仑定律在动力学中的应用、在圆周运动中的应用等，有些问题还与图象结合起来，读者可以在练习或者后面的专题讲解中慢慢体会。

二、平行板电容器与其中粒子的运动

【例2】(2010·华约自招)如图2所示，三个面积均为S的金属板A、B、C水平放置，A、B相距d1，B、C相距d2，A、C接地，构成两个平行板电容器。上板A中央有小孔D。B板开始不带电。质量为m、电荷量为q(qgt;0)的液滴从小孔D上方高度为h处的P点由静止一滴一滴落下。假设液滴接触B板可立即将电荷全部传给B板。油滴间的静电相互作用可忽略，重力加速度取g。

图2

(1)若某带电液滴在A、B板之间做匀速直线运动，此液滴是从小孔D上方落下的第几滴？

(2)若发现第N滴带电液滴在B板上方某点转为向上运动，求此点与A板的距离H。

【解析】(1)根据题意，A、B板与B、C板构成的两个平行板电容器的电容分别为

设第n滴带电液滴可在A、B板之间做匀速直线运动。当第n滴带电液滴处于A、B板之间时，B板所带电荷量为

Q1+Q2=(n-1)q③

式中，Q1和Q2分别为金属板B上下两个表面上的电荷量。设B板电势为U，则

Q1=C1U④

Q2=C2U⑤

由于第n滴带电液滴在A、B板之间做匀速直线运动，有

qE1=mg⑦

按题意，第N滴带电液滴会在下落到离A板距离为H(Hlt;d1)时，速度为零，此时液滴所在位置的电势为

由能量守恒得

由①②④⑤⑨⑩式得

电容器中的带电粒子从运动状态看有静止、直线运动和曲线运动三种情况。受力分析是首要的步骤。对静止状态利用平衡方程解决。对于直线运动可用牛顿运动定律和功能关系解答，利用图象法辅助求解有时更佳，而对于曲线运动分为类平抛运动，利用分解思想解答。对于圆周运动要注意等效加速度和物理最高点等问题，充分利用牛顿运动定律和功能规律。

三、带电粒子在电磁场中的运动

带电粒子运动的方向恰与磁场方向在一条直线上，该粒子仍不受洛伦兹力的作用，粒子就以这个速度在磁场中做匀速直线运动。

带电粒子速度方向与磁场方向垂直，带电粒子在垂直于磁场方向的平面内以入射速度v做匀速圆周运动。

【例3】(2013·北约自招)如图3所示，在一竖直平面内有水平匀强磁场，磁感应强度B的方向垂直该竖直平面朝里。竖直平面中a、b两点在同一水平线上，两点相距l。带电量qgt;0，质量为m的质点P，以初速度v从a对准b射出。忽略空气阻力，不考虑P与地面接触的可能性，设定q、m和B均为不可改动的给定量。

图3

(1)若无论l取什么值，均可使P经直线运动通过b点，试问v应取什么值;

(2)若v为(1)问可取值之外的任意值，则l取哪些值，可使P必定会经曲线运动通过b点;

(3)对每一个满足(2)问要求的l值，计算各种可能的曲线运动对应的P从a到b所经过的时间；

(4)对每一个满足(2)问要求的l值，试问P能否从a静止释放后也可以通过b点?若能，在此过程中可达到的最大运动速率vmax。

【解析】(1)要使P经过直线运动通过b点，必有

mg=qvB

(2)设质点速度为v+Δv，质点所受到的洛伦兹力为q(v+Δv)B，与重力的合力为mg+q(v+Δv)B=qΔvB，所以质点的运动可视为沿ab连线方向做速度为v的匀速直线运动和速度为Δv的圆周运动，要使质点通过b点，

t=nT②

l=vt④

以上各式解得

【点悟】从最近几年的自主招生试题看，以带电粒子在电场、磁场、复合场中的运动命题皆有。有的内容与高考接近，有的要高于高考，特别是复合场问题。如本题第一问利用复合场的平衡知识就可以解决，第二、第三问要对速度进行分解。另外曲率半径、功能规律与牛顿运动定律在圆周运动中的综合性使用都是高于高考的。

四、电磁感应现象中的综合性问题

电磁感应内容中，自主招生涉及规律与高考差不多，但是加强了微元法、等效法、守恒思想等的应用。

图4

【例4】(2013·卓越自招)如图4所示，两根电阻不计的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，导轨上端接有阻值为R的电阻，水平条形区域Ⅰ和Ⅱ内有磁感应强度为B、方向垂直导轨平面向里的匀强磁场，其宽度均为d，Ⅰ和Ⅱ之间相距为h且无磁场。一长度为L、质量为m、电阻不计的导体棒，两端套在导轨上，并与两导轨始终保持良好接触。现将导体棒由区域Ⅰ上边界H处静止释放，在穿过两段磁场区域的过程中，流过电阻R上的电流及其变化情况相同。重力加速度为g，求：

(1)导体棒进入区域Ⅰ的瞬间，通过电阻R的电流大小与方向；

(2)导体棒穿过区域Ⅰ的过程中，电阻R上产生的热量Q；

(3)下面四个图象定性地描述了导体棒速度大小与时间的关系，请选择正确的图象并简述理由。

由法拉第电磁感应定律得E=BLv

由楞次定律判断通过R的电流方向由右向左。

(2)设导体棒穿出区域Ⅰ的瞬间的速度大小为v′，根据能量守恒定律有

由题意知，导体棒穿过两端磁场过程中，流过电阻R的电流及变化情况相同，所以，导体棒在进入区域Ⅰ和Ⅱ的瞬时速度相同。导体棒在两磁场之间运动时只受到重力的作用，因为机械能守恒定律，有：

以上联立解得Q=mg(h+d)。

(3)导体棒由静止进入区域Ⅰ之前，只受到重力作用，导体棒做自由落体运动，加速度为g，因为在0～t1时间段内v-t图象为直线。导体棒在两磁场之间运动时也只受重力的作用，同理在t2～t3时间段内v-t图象为直线。

两磁场区域的宽度相同，导体棒穿过两端磁场的过程中，流过电阻R的电流及其变化情况相同，可知导体棒在进入Ⅰ和Ⅱ瞬间的瞬时速度相同，且在两磁场区域内速度的变化相同，因此导体棒在t1～t2和t3～t4时间段内v-t图象相同，而且导体棒在磁场区域内做加速度减小的减速运动，C项正确。

【答案】C

【点悟】在电磁感应的备考中，读者需要注意几点。第一，要分清匀强磁场、非匀强磁场、辐向型磁场，还有交替变换型磁场；第二，知道导体杆有单杆和双杆在不同磁场中的过程分析，会分析导体方形框、梯形框、圆形框等在磁场中的运动，在解决问题时合理运用牛顿运动定律、法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、能量守恒定律、动量定理等，很多问题还可以借助图象分析说明。

小试身手

1．(多选)(2012·卓越自招)在如图所示的坐标系内，带有等量负电荷的两点电荷A、B固定在x轴上，并相对于y轴对称，在y轴正方向上的M点处有一带正电的检验电荷由静止开始释放。若不考虑检验电荷的重力，那么检验电荷运动到O点的过程中

( )

A．电势能逐渐变小

B．电势能先变大后变小，最后为零

C．先做加速运动后做减速运动

D．始终做加速运动，到达O点时加速度为零

2．(2012·华约自招)两电源电动势分别为E1、E2(E1gt;E2)，内阻分别为r1、r2。当这两个电源分别和一阻值为R的电阻连接时，电源输出功率相等。若将R减小为R′，电源输出功率分别为P1、P2，则

( )

A．r1lt;r2，P1lt;P2________________B．r1gt;r2，P1gt;P2

C．r1lt;r2，P1gt;P2D．r1gt;r2，P1lt;P2

3．(2011·华约自招)空间某区域内存在匀强磁场，磁场的上下边界水平，方向和竖直平面(纸面)垂直，两个由完全相同的导线制成的刚性线框a和b，其形状分别为周长为4l的正方形和周长为6l的矩形，线框a和b在竖直平面内从如图所示的位置开始自由下落，若从开始下落到线框完全离开磁场的过程中安培力对两线框的冲量分别为Ia、Ib，则Ia∶Ib为

( )