匀强电场中四个重要结论的推导及其运用

江西 徐亮亮 江秀梅 刘大明

解题之路隐荆棘，拨开云雾见光明——四个结论引路。

匀强电场中四个重要结论的推导及其运用

在高考物理试题中，力电综合题是每年必考的压轴题型。其中，力学与电场综合也是非常重要的，尤其以匀强电场为背景命制综合试题较多。

本文主要研究匀强电场，给出了匀强电场中四个重要而好用的结论，以飨读者。

【重要结论1】在匀强电场中，所有平行(包括同一直线上)且相等线段两端点电势差相等。

【证明】如图1所示，在匀强电场中，任一一束平行线确定下来，则它们与电场线之间的夹角θ为确定值。同理，在这束平行线中的任一直线上，取长度为l的任一线段AB，电荷量为q的点电荷沿直线从A点移到B点，则电场力做功都为确定值，即W=qUAB=qElcosθ。于是有UAB=

Elcosθ，其中E为匀强电场的场强。

图1

根据重要结论1，极容易推导一系列其他重要结论，姑且称它们为重要推论：

图6

七、场强叠加法

库仑定律的适用范围是真空中的点电荷，而实际带电体，如带电圆盘、带电导线等产生的场强的求解常常要用到场强的对称性和叠加原理才能顺利求解。

图7

【例7】(2013新课标全国卷Ⅰ)如图7所示，一半径为R的圆盘均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(qgt;0) 的固定点电荷，已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为(k为静电力常量)

( )

【解析】b和d处的场强都是点电荷和圆盘产生的场强的叠加，而b和d又关于圆盘对称，圆盘在b、d两点处产生的场强大小相等、方向相反。点电荷在b和d两点处产生的场强用库仑定律即可得到。

图2

【推论2】如图3所示，在匀强电场中，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C、D四点的电势分别为φA、φB、φC、φD，则φA-φB=φD-φC或φA-φD=φB-φC。

图3

【证明】AB与DC平行且相等，根据重要结论2，得到φA-φB=φD-φC；同理，亦有φA-φD=φB-φC。

【例1】如图4所示，在一匀强电场区域中，有A、B、C、D四点恰好位于一长方形的四个顶点上，已知A、B、C三点电势分别为φA=2 V，φB=4 V，φC=0，则D点电势φD为________。

图4

【解析】四边形ABCD为长方形，根据推论2，有：

φA-φB=φD-φC，即φD=φA-φB+φC=-2 V。

图5

【重要结论3】等势面(或等势线)与电场线垂直，沿着电场线方向电势越来越低。

【例2】在例1基础上，画出匀强电场的一条电场线。

图6

【重要结论4】在匀强电场中有一个圆，其圆面与电场线平行。那么，圆上的点与圆心的电势差遵循余弦关系，即UOA=Ucosθ(如图7所示)。其中，θ为半径OA与电场线之间的夹角，U由匀强电场的强度E和圆半径的长度R决定，即U=ER。

图7

【证明】设一个电荷量为q的点电荷沿半径方向从O点移到A点，则电场力做功为W=qUOA=qERcosθ，令U=ER，得到UOA=Ucosθ。

特别指出，U实际上是与电场线平行的半径线段两端点的电势差，即θ=0时，UOA=U。

图8

图9

【答案】3 5

(1)无电场时，小球到达A点时的动能与初动能的比值；

(2)电场强度的大小和方向。

图10

设小球到达A点时的动能为Ek，由动能定理得

所以Ek∶Ek0=7∶3。

(2)令OA=2L，则OB=3L。设小球带电后，到达A的动能EkA，到达B的动能为EkB，由动能定理得：

qUOA+mg2Lcos60°=EkA-Ek0

和qUOB+mg3L=EkB-Ek0

根据重要推论2，OB上可取一点M(OM=2MB)，使得φM=φA，连接AM，即为一条等势线，不难推知△OAM为等边三角形。根据重要推论3，知在∠AOB的角平分线为一条电场线，斜向下与竖直方向成30°角，如图11所示。

图11

(作者单位：江西省南昌市南钢学校 江西省抚州市第一中学 江西省抚州市第一中学)

安徽省灵璧县黄湾中学)