《二次函数的性质与图象》教材分析

高淑云

数学教材是课程标准要求的具体化，也是课程实施的主要媒介。数学教师在进行课堂教学之前，首先要分析教材内容，弄清教学内容，挖掘教材编写的特点和意图，才能更好的实施课堂教学。《二次函数的性质与图象》是人教B版《数学1》第二章第二节的内容。下面我就就本节内容加以分析。

1 例题分析

本节课共安排了3个例题。

例1：試述二次函数f（x）=x+4x+6的性质，并作出它的图象。

例2：试述二次函数f（x）=-x2-4x+3的性质，并作出它的图象

【意图分析】

例1与例2两道例题表述上一模一样，但仔细分析内容却各有特点：

（1）二次项系数α：例1的α是一个正分数，例2的α是一个负整数。

（2）方程f（x）=0的两根：例1中的两根为整数，作图时描点很方便；例2中的两根不是整数。

（3）图像：例1开口向上，例2开口向下。

（4）列表描点作图：充分体现了二次函数图象关于对称轴对称的特性。例1表中，关于直线x=-4左右对称，间隔1取值；例2表中关于直线x=-2左右对称，间隔1，0.5，0.15…。学生更加深刻体会到如果两个自变量到对称轴的距离相等，那么它们的函数值也相等。

（5）第一次使用记号ymax，ymin分别表示函数y=f（x）的最大值和最小值。

通过例1与例2的对比我们可以看出，教材充分体现了由易到难、由浅入深的编写意图，符合学生的认知规律。通过二次函数的二次项式系数的符号对二次函数的性质与图象的影响，培养学生观察类比的数学思想，养成用联系变化的观点看问题的习惯。同时充分利用数形结合思想较好地学习了二次函数的对称性和单调性，并为学习函数零点埋下伏笔。进而使学生认识到“配方法”是研究二次函数的主要方法.熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键，对一个具体的二次函数，通过配方法就能知道这个二次函数的主要性质.由研究特殊的二次函数的过程可以让学生进一步明确了研究一般函数的方法，只有先对已知函数作适当的分析，然后才能更全面、更本质地反映函数的性质。

例3：求函数y=3x2+2x+1的值域和它的图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？

【意图分析】

（1）本题给出一个二次项系数大于0的二次函数，目的在于训练学生在例1、例2的基础上达到灵活运用所学知识的程度，使学生形成能力。

（2）进一步强化了配方法，本例中尽管a>0但在配方时常数项易出错，需要教师引导学生准确配方。

（3）通过对例题的分析与讲解，使学生更直观的理解二次函数的图象及性质，强化了二次函数的主要性质：值域，对称性，单调性。

2 习题分析

2.1 练习A

1）用配方法求下列函数的定义域、值域以及最大值或最小值：

（1）f（x）=x2+8x+3 （2）f（x）=5x2-4x-3

（3）f（x）=-x2+x+1 （4）f（x）=-3x2+5x-8

【意图分析】

本题安排四个小题

（1）二次项系数α由小到大，由正到负，体现了从易到难，由浅入深编写原则，同时强化巩固了配方法；

（2）体现定义域优先的原则，本题f（x）解析式是多项式形式，定义域是R；

（3）体现值域、最大值或最小值的区别，值域是函数值y的取值集合，表达方式是集合或者区间，最大（小）值是一个特殊的函数值，要求学生明确概念。通过求函数的最大（小）值也可以求出函数的值域，它们之间既有区别又有联系。

2）求下列函数图象的对称轴和顶点坐标，并作出图象，指出其单调区间。

（1）y=x2-5x+1 （2）y=-2x2+x-1

【意图分析】

本题安排两个小题

（1）二次项系数a从正分数到负整数，体现由易到难的原则；

（2）求对称轴和顶点坐标，可采用两种方法：配方法、公式法；

（3）先求对称轴和顶点坐标，了解函数的基本性质（对称性），后作图像使列表描点时更有目的性，能够更全面、更本质的反应函数的性质；

（4）指出单调区间，培养学生的识图能力，并深刻体会单调性的定义，并从两个小题深刻理解a>0及a<0对单调区间的影响。

3）已知函数y≤x2-x-2，利用函数的图象，求y≤0时，x的取值范围。

【意图分析】

本题要求学生首先要会正确作图、其次要会识图，会从图象上观察y≤0时x的取值范围。最后用图，通过数形结合正确写出答案，再一次体现了数形结合的思想。

本题也体现了三个二次之间的关系，从而使学生初步会利用二次函数图象及一元二次方程的根来求一元二次不等式的解集，为练习B埋下伏笔。

2.2 练习B

1）已知函数f（x）=x2-3x-；

（1）求这个函数图象的顶点坐标和对称轴；

（2）已知f=-，不用代入值计算，试求f；

（3）不直接计算函数值，试比较f-与f的大小。

【意图分析】

（1）巩固了配方法及二次函数的性质，同时对称轴为第二问奠定了基础；

（2）通过具体数值验证了对称性，到对称轴的距离相等的两个自变量的函数值相等；

（3）从第二问的函数值相等，引申到不等，再一次深刻体会到当开口向上如何通过不直接计算函数值来比较两个函数值大小的方法——只需比较每个自变量到对称轴的距离即可，进一步体现了数形结合思想。

（2）已知函数，不用计算函数值，试比较的大小。endprint

【意图分析】

从第一题的第3问，学生已经初步掌握二次函数的对称性与比较二次函数值大小的方法；此题又进一步强化这一知识点，明确解题步骤：求对称轴——计算并比较两个自变量到对称轴的距离——数形结合给出结论。这里有相等，也有不等的情形，全面透彻的巩固了这一性质。

（3）用配方法求下列函数的定义域和值域：

（1）y=；（2）y=。

【意图分析】

本题安排了两个小题

（1）题目要求非常明确用“配方法”，从而进一步熟练巩固了配方法；

（2）求函数的定义域体现了定义域优先的原则，求值域巩固了二次函数最值的求法；

（3）求定义域需要列出一元二次不等式，这里体现了数形结合的数学思想，利用图象写出定义域、值域体现了三个二次之间的关系，同时也为必修5《一元二次不等式的解法》奠定了基础；

（4）第二小题与第一小题相比有特殊的地方，本题的定义域是单元素集合，值域也是单元素集合，既有一般情形也有特殊情况，知识完善，结构完整。

（5）根号下的二次函数，二次项系数a仍然由正到负，体现了先易后难的原则。

3 探索与研究

“探索与研究”栏目的设置绝对是一个亮点！它给学生搭建了一个探究创新的舞台。

1）在同一坐标系中，作函数y=x2，y=（x+1）2，y=（x-1）2，y=x2+1，y=x2-1的图象，研究他们的图象之间的关系。

【意图分析】

（1）图象之间的关系从特殊到一般，从具体到抽象。平移变换有两种：横向沿x轴平移，纵向沿y轴平移，通过此题学生可以总结出“左加右减，上加下减”的规律。

（2）渗透化归的数学思想。复杂问题简单化，借助同学们熟悉的y=x2的图象，研究图象之间的关系。

2）探索函数y=f（x）与y=f（x+a），y=f（x+a）+b，（a≠0，b≠0）的图象之间的关系。

【意图分析】

把问题1进一步升华，有两点抽象化：解析式、变换的单位，同时渗透了分类讨论的思想。

3）二次函数y=ax2+bx+c=ax++

中的a，b，c对函数性质与图象各有哪些影响？

【意图分析】

二次函数y=ax2+bx+c有三个待定系数，其中每个系数既有分工又有协作，认真剖析a，b，c的作用。a——开口方向及大小、b——奇偶性、a、b——对称轴、c——与y轴交点的位置。

4）分别作函数y=和y=的图象。

【意图分析】

（1）本题函数是解析式为分式的函数图象问题，可以用描点法作图，但是有一定的难度。在这里是要求同学采用图象变换法作图。

（2）先求定义域然后利用图象变换作图，第一小题可转化为熟悉的y=（见教材P48-例2）的图象。

（3）第二小题，需要先分离出常数，y=1+，然后可转化为y=的图象。利用图象的平移变换得到所需图象。进一步巩固了函数图象变换的作图方法，同时使前面总结的知識在结构上得到了完善。

总之，通过以上分析我们可以清晰地看到编者的编写意图，真可谓是独具匠心。作为普通的高中数学教师，我们要切实揣摩教材、研析教材，充分利用好教材这一宝贵资源，在教学中结合学生的实际情况，适当的整合教学资源，才能更好地提高教学成绩。endprint