金融数学概述及其展望

(中南财经政法大学，湖北 武汉 430073)

金融数学概述及其展望

程子桐

(中南财经政法大学，湖北 武汉 430073)

本文将以二次华尔街革命为主线，简单概述金融数学产生以及发展的集成，金融数学的一般理论，并针对金融数学的现状对其未来发展做出展望。

金融数学；期权定价；金融衍生工具

一、引言

自从两次合计革命以来，金融数学得到了前所未有的发展，成为了一门以数学与金融为主的交叉学科。它的主要内容包括对完全随机情况下的投资组合最佳选择理论以及资产的定价理论。其概念和基础经济思想是最优、均衡和套利。从金融数学出现以来已经有近60年的发展历史，尤其是最近几年来，金融数学的很多假定理论得到了证实和大量的应用，带动了整个金融市场内大量产品的创新，让金融交易更加丰富，这门学科在我国的经济发展中同样有着不可或缺的作用，在未来也会与经济繁荣更加密切相关。

二、金融数学的初步发展

金融数学这一名词的首次提出是出自于一位法国数学家的博士论文中，用以描述股票价格的布朗运动。再后来的1905年爱因斯坦也曾做过相关研究，不过并未引起当时学界的广泛关注。直到20世纪中叶，萨维奇终于开始认识到这一学科所代表的巨大意义，开始对其进行更加细致的研究，金融数学的研究开始进入“黄金时代”，掀开了崭新的一页。

金融数学是在两次华尔街革命中开始完善起来的。第一次革命表现在静态投资组合的研究上。1952年，马可韦茨提出了以均值为理论基础的方差模型投资组合问题的研究，但这一理论计算风险资产价格的协方差计算量太大，威廉在1964年又提出了CAPM资产定价模型，它在假设市场均衡的基础上，任何资产的预期收益率是市场风险的线性函数，也就是零风险利率加风险补偿即为预期收益率，做出了导致资产与其收益率波动的最主要原因是系统风险。

第二次革命是决策由静转动。1970年，固定汇率被浮动汇率所代替，市场上出现了诸如期货等衍生工具，这些工具的作用无异是管控金融风险，不过要想真正实现就必须要对衍生工具作出定价。巴舍利耶的布朗运动模型直接导致了随机过程数学与金融工程学的出现。

三、金融数学基础理论

如今，金融数学主要用于以数学方式的研究成果来描述经济、管理、金融等领域的问题，它的基础理论可以在三个方面加以体现。

(一)投资组合选择理论

维兹将随机变量定位在投资组合中的股价上面，设方差为风险而均值为收益，探索在收益固定前提下尽量减少风险的投资组合问题，并且将其表达为二次规划的最优解：

MaxXTVX

这里X=(x1,x2,…,xn)T代表一种投资组合，Xi代表投资在第i支股上的权重，H=(h1,h2,…,hn)T是收益的均值向量，V是收益的协方矩阵，r是容许范围内最低限度的收益率，L=(l1,l2,…,ln)T、P=(p1,p2,…,pn)是买空卖空限，而li=0、pi=1时卖空买空都不可以。

Marco Weitz不但将这一模型的求解问题进行了解决，并证明了多种证券的组合投资较仅投资一种证券风险较小，它目前仍是风投的基础纲领。

(二)CAPM理论

实际上Marco Weitz所提出的投资组合模型在应用于股价的协方差计算上不太容易，所有在1964年，William Sharpe又提出了CAPM模型：

E[Ri]=RF+βi(E[RM]-RF)

这里的RF代指没有风险的资产收益率。RM代指市场资产组合收益，βi=Cov(RI,RM)/Var(RM)为分风险系数。这个模型详细叙述了系统风险和投资风险二者的数量关系，让投资者能够更为直白的看到由于担负风险而获取回报的线性关系。并提出了获得投资收益的因素只有系统风险，而其余风险能够以投资组合的方式加以分散。

在上个世纪70年代，Black和Schools在其共同著作中提出了著名的BS公式，并认为股票股价和期望收益率没有关系，也就是投资偏好不会影响期权的合理价格，是非风险中性的。

四、金融数学最新进展

(一)随机最优控制论

这一理论是在20世纪60年代在控制理论中使用Buerman最优策略，并综合测度论以及泛函分析方法衍生出来的针对随机问题的解决理论。

(二)鞅理论

这一理论是金融数学界比较新的理论方法。它提出了金融市场在一定的假设下，其价格是一种随机鞅的形式。卡拉塔兹等人使用这一概念做出了衍生证券的定价问题，对金融市场运作秩序进行了比较详实的描述，并给出了处理复合衍生产品定价以及风险管控的所有计算步骤，也解决了不完全市场领域衍生产品定价问题。当前国外的以鞅理论为基础的定价论在金融数学界有着重要地位，国内也开始寻求以这一理论进行研究。

(三)最优停时理论

这一理论可以说实用价值很高，不过将其使用在解决金融问题上的研究还比较基础，大多数研究成果都停留在初级阶段，也不是很多，不过学界很多研究者都认为这一理论在投资组合上将会产生较为不错的效果。

(四)微分对策理论

稳态假设并不能完全代表金融领域的现实环境。每当出现不正常波动是，证券价格就不会遵循布朗运动规律。这时使用随机动态模型的方式对投资组合问题进行探讨的话，会产生极大的偏差，而使用微分对策理论则不会出现这种问题。它能够扩大市场稳态的假定范围，也能够将不确定性干扰作为另一方，针对最差的部分进行优化。

(五)其他研究理论、实证方法

科学技术的迅速发展让金融数学的中很多假设都能够实现，小波分析.遗传算法、仿退火算法 、非电子神经网络等与一般金融学理论组合起来，在多个数学领域方面都起到了不错的成效，国内的研究也渐渐随着金融业的复兴而更加繁荣起来。

五、金融数学现今的问题

在以往对金融经济进行描述的模式一般有两种，也就是随机游走模型和决定论模型，这两种模型可以说是处于对立状态，前者由Newton提出，认为如果开始时状态一致的话金融经济的的运转动作完全可以预判，而后者是由Brown提出，认为各个阶段的收益率互不影响，不同阶段的收益率分散是一致的。最近几十年，金融学界也有着较大的分歧：有的研究者从分析技术出发，认为市场是按照一种规则往复运转的；也有学者以分析非线性系统为突破口，不相信市场按一定规律往复运转，最近的研究是学者使用新的方法手段证明了在金融经济范畴中，实际上应该是两中运转模式共同存在，如果这一结论有着更有力的证明，那么现在的学界起码有下面几个问题摆在研究者面前：

1、分析金融经济的变动的三种性质，也就是对所谓的无序性、朦胧性、笼统性作出全面探讨，从而对其之间的承接条件、变换构造、演化进程、性质特点、诱发结果和应该使用的针对性的经济策略(货币战略)。

2、对以货币信誉为基础的货币需要量、供应量、经济资产流动和流速做出系统分析，研究出货币平衡与失衡的正确限定以及实际模型，对改进社会金融平稳状态对财经、经济、物资、外汇的均衡提出有力的凭据。

3、全面分析物价指数、税率、保率、利率、汇率，为制订有序的三率模式供给行之有效的数学模型。

4、对组织能源以及产出能力因素的抉择进行设置，并结合金融经济目标为探讨标的的多方向统合分析，使其更好的、更普遍的使用在金融数学研究之中。

六、结语

随着科技和学界理论的愈发丰富，金融数学的研究愈发受到广大学者的关注，20世纪末，数十位学者联合发起了巴舍利耶金融学会(Bachelier Financial Society)，希望以学术界的密切交流推进各种数学方法和数学模型在金融性中的灵活使用，很多专门研究将数学与金融学相结合的刊物诸如Management Science、Theory and Decision、Journal of Financial and Quantitative Analysis等也纷纷创刊，金融数学进入繁荣时期，中国也已经把金融数学列为国家密切关注的研究学科，受到广泛关注，在现今的金融学术研究中，数学思想和数学方法、模型占有着极其重要的位置，很多浸淫于数学和理学研究的专家学者都开始将目光投向了金融数学的研究当中，为现今的金融学研究注入了巨大的动力。

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