浅谈初中数学解题技巧之数形结合

邓燕

摘 要：数学不仅仅是数字之间的联系，也是数字与图形的结合。不过，在我们现有的数学教学体系中，数字和图形的联系还是比较单一的，一般存在于函数学习与应用中。其实，几乎所有数学题都可以用数形结合来求解。

关键词：教学现状；题目分析；传统方式；新的尝试

一、数形结合是什么

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形賦值，如边长、角度等。通俗地讲，数形结合就是把数字和图形结合，把所有数字、运算关系、研究对象之间的逻辑关系等等标注在图形上，使抽象的数字可视化，方便解题。

数形结合在初中数学里最常见的应用是各种函数图像。通过图形我们可以很轻松地发现二次函数系数y=ax2+bx+c（a≠0），a对函数图像的影响：a为正，开口向上，且a越小开口越大，a为负，开口向下，a越小开口越小。

二、应用题与数形结合

分析整张数学试卷，你会发现，前面的选择题和填空题部分学生们基本都能拿到百分之七十左右的分，普通计算题和画图题也能保证百分之六十的准确率，可是到了应用题，情况就惨不忍睹了，很少有拿满分的，大部分都是写个解字就不了了之。两者对比，你会发现，应用题和填选题最大的区别就是“字多”，可能每个人都能发现这一点，却没有人意识到这一点，恰恰是字多，导致学生们从题干中提取关键信息时存在困扰。但如果我们运用数形结合，那么应用题也会变得和填选题一样明了，接下来我们举个例子。

例：一排解放军从驻地出发去执行任务，每小时行5千米。离开驻地3千米时，排长命令通讯员骑自行车回驻地取地图。通讯员以每小时10千米的速度回到驻地，取了地图立即返回。请问通讯员从驻地出发，几小时可以追上队伍？

分析题目，我们先画出示意图。

分析：一开始通讯员和大部队以5km/h的速度前进，在离驻地3km的地方，他回去取地图，速度是10km/h，而大部队继续以5km/h的速度前进，当他拿到地图后，又骑自行车以10km/h的速度追赶大部队。

解：通讯员返回驻地用时为：3/10小时，

则队伍已行走（3/10小时*5）=1.5千米.

通讯员从驻地出发追赶队伍，与队伍的路程差为（3+1.5）=4.5千米，则通讯员从驻地出发追上队伍的时间为：4.5/（10-5）=0.9小时

答：通讯员从驻地出发追上队伍的时间为0.9小时。

三、不一样的数形结合

通常来说，数形结合在初中数学上的运用几乎都是函数问题，追击相遇问题，画出的图像也都是直来直去的坐标轴。几乎一提起数形结合问题，我们脑海里就会浮现一个坐标轴。除了固有思想里的坐标轴，数形结合还有其他方式么？当然是有的，接下来我们用另一个题目说明。

问：有若干只小鸡和兔子关在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。问笼中各有多少只鸡和兔？

分析：一、鸡和兔都分别有一个头。二、小鸡有两只脚，兔子有四条腿。

示意图：

解：首先假设兔子有x只，那么小鸡就有（35-x）只。

那么兔子共有4x只脚，小鸡共有2（35-x）只脚，

可得4x+2（35-x）=94，

可解得 x=12，即兔子有12只，小鸡有23只。

答：兔子有12只，小鸡有23只。

这里我只是举一个例子，这张图把兔子和小鸡最大的区别既脚的数目不同，形象生动地体现出来，以后类似的问题都可以利用数形结合来做。

四、数形结合的几点建议

把所有信息用示意图来表示，相应的距离，速度等用阿拉伯数字标注在图上（一定不要用中文标注，写字多，示意图不够简洁，也不便于观察分析和后续的检查），这是一种把抽象变具体的手段，比如在刚刚的例题里，我们就可以把示意图画出来，这样题目就有理有据、一目了然了。这一点恰恰是所有学生比较欠缺的，希望在以后的学习中，老师和学生都能注意到这一点。再然后就是列式计算，这一步基本不会出错，也不做强调。最后一步，也是比较重要的一步就是“检查”，检查计算步骤，检查结果，这时候如果草稿纸比较简洁，就可以一步步分析，一步步判断解题步骤是否出错，而且，有些答案可以联系生活直接判断对错。

总之，应用题不难。难的是读题，是从题干中提取信息，如何从纷繁复杂的题干里提取出有用的信息，并把有效的信息在图形里体现出来才是做题的关键，这一点是将来老师教学工作和学生学习的重点。大部分应用题题干里的信息是十分详尽的，仔细阅读并成功提取关键信息，画出对应的示意图，做好一道题已经事半功倍了。

参考文献：

[1] 罗开平.探究数形结合思想在高中数学教学中的应用与拓展[J].读与写（上，下旬） 2016年18期.