利用导数解决与函数单调性有关问题

李亚琴��

摘要：函数的单调性问题是每年高考的必考点，简单的基本初等函数可以直接利用单调性定义解决，而较复杂的函数或者复合函数的单调性利用导数解决会更方便快捷。所以我们对利用导数方法求解与函数单调性有关问题进行了归纳。

关键词：函数；单调性；导数

函数的单调性在导数的应用中对极值、最值以及最优解的问题都起到关键性作用。命题中经常与函数的其他性质、方程、不等式交汇命题，且一般为含参的分式或指数、对数结构。用导数解决与函数单调性有关问题会更方便快捷。解决单调性问题经常会用到的数学思想有：分类讨论思想、函数与方程、数形结合、转化与化归等。函数单调性利用导数解决有关问题，题型考查大致可归纳为以下几类：

一、 在图像中的应用——函数图像可以直观地刻画函数的单调性

在定义域的子区间（a，b）上原函数的单调性与导函数的正负是对应的，

若在（a，b）上，f′（x）>0则f（x）单调递增，

若在（a，b）上，f′（x）<0则f（x）单调递减。

【例1】设函数y=f（x）的图像如图所示，则导函数y=f′（x）的图像可能是下图中的（）

【解析】由y=f（x）图像知，函数先增，再减，再增，对应的导数值，应该是先大于零，再小于零，最后大于0。故选D。

【注】作为选择题，不一定要像解答题那样正面解答，排除法不失为一种简单的方法，首先从函数的奇偶性排除B、D，再根据特殊值或者单调性排除C。

二、 在不等式中的应用——在不等式中直接利用单调性解题

【例2】已知f（x）是R上的偶函数，在区间（-∞，0）上f′（x）>0，且有f（2a2+a+1）

【解析】因为f（x）是R上的偶函数。

∵x∈（-∞，0）时f′（x）>0，则f（x）单调递增，

∴x∈（0，+∞）时f′（x）<0，则f（x）单调递减。

又∵2a2+a+1>0，

f（2a2+a+1）

2a2+a+1>3a2-2a+1>0，

∴0

三、 已知函数的解析式直接求函数的单调性或者单调区间（或证明单调性）

此类题解题步骤

第一步：确定函数y=f（x）的定义域；

第二步：求导函数y′=f′（x）；

第三步：令导函数f′（x）<0解不等式，解集在定义域内部为单调递减区间；

第四步：令导函数f′（x）>0解不等式，解集在定义域内部为单调递增区间。

易错点：未考虑函数的定义域。

【例3】已知函数f（x）=x4-3x2+6，讨论f（x）的单调性。

【解析】f′（x）=4x3-6x=4xx+62x-62，

令f′（x）>0得-6262；

令f′（x）<0得x<-62或0

因此，f（x）在区间-62，0和62，+∞为增函数；在区间-∞，-62和0，62为减函数。

四、 函数解析式中含有参数讨论函数的单调性

此类题解题步骤

第一步：确定函数y=f（x）的定义域；

第二步：求导函数y′=f′（x）；

第三步：观察f′（x）能否恒大于或等于0（或恒小于或等于0）吗？如果是则求出参数取值范围。讨论开始，当参数范围以外取值时再分层讨论；

第四步：参数的取值范围不同，求导函数f′（x）<0，解集在定义域内部为单调递减区间，参数的取值范围不同，求导函数 f′（x）>0，解集在定义域内部为单调递增区间；

第五步：写总结。

含参单调区间考试主要以两种题型为主，①常数项或者一次项，②二次项系数含参。

注意：大多数导函数都会转化为一个二次函数，因此讨论函数单调性，就转化为讨论二次函数在某区间上的符号问题。

易错点：参数分类讨论的界限。

【例4】已知函数f（x）=13x3+x2+ax，讨论f（x）的单调性。

【分析】题型是常数项或者一次项含参。

【解析】依题意可得f′（x）=x2+2x+a，

当Δ=4-4a≤0即a≥1时，x2+2x+a≥0恒成立，故f′（x）≥0，所以函数f（x）在R上单调递增；

当Δ=4-4a>0即a<1时，

f′（x）=x2+2x+a=0有两个相异实根x1=-2-4-4a2=-1-1-a，x2=-1+1-a且x1

故由f′（x）=x2+2x+a>0x∈（-∞，-1-1-a）或x∈（-1+1-a，+∞），此时f（x）单调递增，

由f′（x）=x2+2x+a<0-1-1-a

综上可知：

当a≥1时，f（x）在R上单调递增；

当a<1时，f（x）在x∈（-∞，-1-1-a）和x∈（-1+1-a，+∞）上单调递增，在（-1-1-a，-1+1-a）单调递减。

五、 已知函数的单调性——求参数的取值范围

（1）在区间（a，b）内，已知函数的单调性——转化为不等式恒成立问题

第一步：直接利用函数的解析式求导；

第二步：根据函数的单调性得到不等式在区间（a，b）恒成立，即：

若函数f（x），在区间（a，b）内单调递增，则f′（x）≥0在（a，b）恒成立求解，

若函数f（x），在区间（a，b）内单调递减，则f′（x）≤0在（a，b）恒成立求解；

第三步：分离参数求（a，b）内的最值，或者利用不等式求恒成立。

【例5】若f（x）=-12x2+bln（x+2）在（-1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（）

A. [-1，+∞）B. （-1，+∞）

C. （-∞，-1]D. （-∞，-1）

【解析】f′（x）=-x+bx+2≤0在（-1，+∞）上恒成立，即b≤x（x+2）在（-1，+∞）上恒成立。

又x（x+2）=（x+1）2-1>-1，∴b≤-1，故选C。

（2）可导函数在区间（a，b）内存在单调区间——转化为不等式恒成立问题

若函数f（x） 在区间（a，b）内单调递增，则f′（x）>0在（a，b）恒成立求解。

若函數f（x） 在区间（a，b）内单调递减，则f′（x）<0在（a，b）恒成立求解。

求解可以分离参数，或者利用函数图像。

【例6】设函数f（x）=13x3-a2x2+1，函数g（x）=f（x）+2x，且g（x）在区间（-2，-1）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围。

【解析】∵g（x）=13x3-a2x2+2x+1，

g′（x）=x2-ax+2，

依题意，存在x∈（-2，-1），使不等式g′（x）=x2-ax+2<0成立。

当x∈（-2，-1）时，a

点评：此题中因为存在，所以a不是小于最小值，而是最大值。

（3）在区间（a，b）上不单调，求参数取值范围——依据函数零点存在定理

若f（x）在[a，b]上的图像是连续不断的，且是单调函数，f（a）·f（b）<0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点。

解法一：求出导函数f′（x），f′（x）在（a，b）上单调，且（a，b）有零点。

解法二：假设f（x）在（a，b）上单调则f′（x）≥0（或 f′（x）≤0）在（a，b）上恒成立，求出参数的取值范围，再求出参数的补集。

【例7】已知函数f（x）=x2（x-a），若f（x）在（2，3）上不单调，则实数a的取值范围是。

【解析】∵f（x）=x3-ax2，

∴f′（x）=3x2-2ax=3xx-23a。

若f（x）在（2，3）上不单调，则有

2a3≠02<2a3<3，可得3