概率解题技巧谈

李家洪

在数学必修三中重点介绍了古典概型、几何概型、互斥事件（对立事件）的概率. 高考中与概率相关的交汇问题很多，但始终离不开各种概率的求法. 因此必须正确理解概率发生的条件，并掌握一些基本的概率模型及其解题方法.

古典概型

对于古典概型，要把握其两个特点：（1）有限性，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）等可能性，每个基本事件发生的可能性相等. 利用概率公式（即[P（A）=A包含的基本事件的个数基本事件的总数]）计算概率的关键在于基本事件的计数. 古典概型中基本事件数的探求方法有：（1）枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出，但列举时必须按一定顺序，做到不重不漏. （2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时，[（x，y）]可看成是有序的，如（1，2）与（2，1）不同；有时也可看成是无序的，如（1，2），（2，1）相同. （3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的问题简单化、抽象的问题具体化.

例1 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.

（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；

（2）向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.

解析 （1）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：（红1红2），（红1红3），（红1蓝1），（红1蓝2），（红2红3），（红2蓝1），（红2蓝2），（红3蓝1），（红3蓝2），（蓝1蓝2）.

其中两张卡片颜色不同且标号之和小于4的情况有 （红1蓝1），（红1蓝2），（红2蓝1），共3种.

故所求概率[P=310].

（2）加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除（1）中的10种情况外，多出5种情况，即（红1绿0），（红2绿0），（红3绿0），（蓝1绿0），（藍2绿0），共有15种情况.

其中颜色不同且标号之和小于4的情况有8种.

故所求概率[P=815].

点评 用列举法求解古典概型中随机事件所包含的基本事件的个数，（1）（2）处涉及球的颜色与球的编号，所以在列举基本事件时容易出现颜色与编号混乱，从而导致基本事件遗漏、重复等错误. 解决此类问题，一定要按照某个既定的顺序逐个写基本事件，以防遗漏与重复.

例2 从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）

A. [110] B. [15]

C. [310] D. [25]

解析 如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数.

总共有25种情况，满足条件的有10种，所以所求的概率为[1025=25].

点评 本题的关键是要得到符合题意的数据表，首先要正确理解基本事件，注意到本题中要求是“有放回地抽取两次卡片”；其次要把握好事件发生的要求是“抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数”.

变式 从分别写有1，2，3，4的四张卡片中无放回地抽取三次，则抽得的前两张卡片上的数的和大于第三张卡片上的数的概率为多少？

解析 如下图所示，总共有24种情况，满足条件的有18种，所以所求的概率为[P=1824=23].

点评 本题因为是“无放回地抽取三次”，枚举法烦琐，列表法不易构造，适合用树状图法来探究基本事件的个数.

几何概型

对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件[A]区域的几何度量，最后根据几何概型的概率公式（即[P（A）=][构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）），]计算[P（A）].

1. 与长度、角度有关的几何概型

与长度（角度）有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度（角度），然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同. 解题的关键是构建事件的区域（长度、角度）.

例3 已知等腰[△ABC，C=90°]，在直角边[BC]上取一点[M]，求[∠CAM<30°]的概率.

解析 如图，在[BC]上取点[M]，使[∠CAM=30°].

设[BC=a]，则[CM=33AC=33a.]

故[P（∠CAM<30°）=CMCB=33.]

点评 本题中，点[M]在边[BC]上的分布是等可能的，即分布的概率与长度是成正比的. 不能用角度比，原因是当点[M]在边[BC]上均匀变化时，[∠CAM]的变化不是均匀的，即点[M]分布的概率与角度不成正比.

2. 与体积有关的几何概型

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算总体积（总空间）以及事件的体积（空间），对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求解.

例4 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________.

解析 正方体的体积为[23=8]，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为[12×4π3×13=2π3]，故点P到点O的距离大于1的概率为[1-2π38=1-π12].

3. 与面积有关的几何概型

求与面积有关的几何概型的概率的方法：（1）确定所求事件构成的区域图形，判断是否为几何概型；（2）分别求出[Ω]和所求事件对应的区域面积，用几何概型的概率公式求解.endprint

例5 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

A. [14] B. [π8]

C. [12] D. [π4]

解析 设正方形的边长为[a]，则圆的半径为[a2]，由图形的对称性知，太极图中黑白部分的面积相等，即各占圆面积的一半.

由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率为[P=12?πa24a2=π8.]

答案 B

点评 对于不规则图形面积的计算，往往先考虑其是否具有很好的对称性，如轴对称、中心对称等等；再通过割补、构造等方法将面积进行转化，变为熟知的图形面积进行计算.

互斥事件、对立事件的概率

求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法. （1）直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率，再运用互斥事件概率的加法公式计算. 若事件[A]与事件[B]互斥，则[P（A?B）=P（A）][+P（B）]. （2）间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式[P（A）=1-P（A）]求概率，即运用逆向思维（正难则反），特别是对“至多”“至少”型题目，用间接法更简便.

例6 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是[12]，甲获胜的概率是[13]，则甲不输的概率为（ ）

A. [56] B. [25]

C. [16] D. [13]

解析 甲不输的概率[P=13+12=56].

答案 A

例7 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同. 随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c，求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.

解析 （a，b，c）所有的可能的情况有27种，设“抽取的卡片上的數字a，b，c不完全相同”为事件[A]，

则事件[A]的对立事件[A]为“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”，包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种情况.

故[P（A）=1-P（A）=1-327=89].

点评 要准确理解互斥事件和对立事件的含义，注重它们之间的区别和联系. 互斥事件是指事件[A]与事件[B]在一次试验中不会同时发生，具体包含三种不同的情形：（1）事件[A]发生且事件[B]不发生；（2）事件[A]不发生且事件[B]发生；（3）事件[A]与事件[B]都不发生. 对立事件是指事件[A]与事件[B]有且仅有一个发生，包含两种情形：（1）事件[A]发生，事件[B]不发生；（2）事件[B]发生，事件[A]不发生. 对立事件是互斥事件的特殊情形.endprint