几何概型题型剖析

田志成

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型. 求几何概型的概率问题，一定要抓住基本事件数的无限性和等可能性，确定试验的全部结果构成的区域，选择合理的测度；进而利用概率公式[P（A）=构成事件A的区域测度试验的全部结果所构成的区域测度]求解.

测度为长度的几何概型

例1 如图，[A，B]两盏路灯之间的长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯[C，D]，问[A]与[C，B]与[D]之间的距离都不小于10米的概率是多少？

解析 记[E：]“[A]与[C，B]与[D]之间的距离都不小于10米”，把[AB]三等分.

由于中间长度为30×[13]=10米，

∴[P（E）=1030=13].

点评 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生可以理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解.本题中几何区域为线段长.

例2 小赵从某车站乘车外出，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率.

解析 设事件[A=]{等待的时间不多于10分钟}，事件[A]恰好是到站等车的时刻位于[50，60]这一时间段内；而事件的总体是一小时，即60分钟. 因此，由几何概型的概率公式得，[P（A）=60-5060=16]，即小赵等车时间不多于10分钟的概率为[16].

点评 因为客车每小时一班，而小赵在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关. 这符合几何概型的条件，且属于几何概型中的长度类型.

例3 在区间[[-1，1]]上随机取一个数[x]，[cosπx2]的值介于[0]到[12]之间的概率为（ ）

A. [13] B. [2π] C. [12] D. [23]

解析 在区间[[-1，1]]上随机取一个数[x]，即[x∈[-1，1]]时，要使[cosπx2]的值介于0到[12]之间，则[-π2≤πx2≤-π3]，或[π3≤πx2≤π2]，∴[-1≤x≤-23]，或[23≤x≤1]，区间长度为[23]. 由几何概型知，使[cosπx2]的值介于0到[12]之间的概率为[P=232=13].

答案 A

点评 在区间[[-1，1]]上随机取任何一个数都是一个基本事件. 所取的数是区间[[-1，1]]上的任意一个数，基本事件是无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量[x]的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件. 本题易错把[cosπx2]的值当作基本事件. 当[cosπx2]取1时， [x]的值为0；当[cosπx2]取0时， [x]的值为[±1]. 所以[cosπx2]的取值并不是等可能的，不能作为基本事件.

测度为角度的几何概型

例4 在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点作射线[OC]，求使得[∠AOC]和[∠BOC]都不小于30°的概率？

解析 记事件[A]是“作射线[OC]，使得[∠AOC]和[∠BOC]都不小于30°”，[∠AON=∠BOM=∠MON=30°]，则符合条件的射线[OC]应落在扇形[MON]中，所以[P（A）=∠MON的度数∠AOB的度数=30°90°=13.]

点评 过[O]作射线[OC]可以在扇形的任意位置，而且是等可能的，因此基本事件的发生是等可能的. 射线的不同位置为基本事件，形成的区域测度为角度.

测度为面积的几何概型

例5 将长为[L]的木棒随机地折成3段，求3段构成三角形的概率.

解析 设[M=]“3段构成三角形”.[x，y]分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为[L-x-y].[Ω=（x，y）|0

由题意知，[x，y，L-x-y]要构成 三角形，须有：

[x+y>L-x-y]，

即[x+y>12]；

[x+（L-x-y）>y]，即[y

[y+（L-x-y）>x]，即[x

故[M=（x，y）|x+y>L2，y

如图所示，所求概率为[P（M）=M的面积Ω的面积=12·L22L22=14.]

点评 将两个变量的取值看作平面区域内的点的横纵坐标，基本事件为平面内的点，构成的区域测度为面积.

测度为面积的“约会型”几何概型

例6 两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去. 如果两人出发是各自独立的，在20∶00到21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率.

解析 设两人分别于[x]时和[y]时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当-[23][≤x-y≤23]. 两人到达约见地点所有时刻[（x，y）]的各种可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻[（x，y）]的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）来表示

因此阴影部分与单位正方形的面 积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为

[P=S阴影S单位正方形=1-（13）212=89.]

点评 “约会”的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型.重点是把两个时间分别用[x，y]两个坐标表示，构成平面内的点[（x，y）]，从而把时间的一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题.

测度为体积的几何概型

例7 在区间[0，l]上任取三个实数[x，y，z]，事件[A={（x，y，z）| x2+y2+z2<1，x≥0，y≥0，z≥0}]，求事件[A]的概率.

解析 [A={（x，y，z）| x2+y2+z2<1，x≥0，y≥0，z≥0}]表 示空间直角坐标系中以原点为球心，半径[r=1]的球的内部部分中[x≥0，y≥0，z≥0]的部分，如图所示.

由于[x，y，z]属于区间[0，1]，当[x=y=z=1]时，为正方体的一个顶点，事件[A]为球在正方体内的部分.

∴[P（A）=18×43π×1313=π6].

点评 本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型，关键弄清楚点[P（x，y，z）]的集合所表示的圖形.在空间直角坐标系下，要明确[x2+y2+z2<1]表示的几何图形是以原点为球心，半径[r=1]的球的内部.事件[A]对应的几何图形所在位置是随机的，所以事件[A]的概率只与事件[A]对应的几何图形的体积有关，这符合几何概型的条件.