例析系统抽样的考查

李琳

系统抽样的概念

例1 （1）某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…，发票上的销售金额组成一个调查样本. 这种抽取样本的方法是（ ）

A. 抽签法

B. 随机数法

C. 系统抽样法

D. 以上都不对

（2）为了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔[k]=________.

解析 （1）上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽[15+50n][（n∈N*）]号，符合系统抽样的特点.

（2）根据样本容量为30，将1200名学生分为30段，每段人数即间隔[k=120030]=40.

答案 （1）C （2）40

点评 判断一个抽样是否为系统抽样：（1）首先看在抽样前是否知道总体是由什么组成，多少个个体；（2）再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在每一个部分中进行简单随机抽样；（3）最后看是否等距抽样.

系统抽样的设计

例2 （1）某初级中学采用系统抽样方法，从该校预备年级800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查. 现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数[k=80050]=16，即每16人抽取一个人. 在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是________.

（2）某企业对新招的504名员工进行岗前培训，为了了解员工的培训情况，试用系统抽样的方法按照下列要求抽取员工，请你写出具体步骤.

①从中抽取8名员工，了解基本理论的掌握情况；

②从中抽取50名员工，了解实际操作的掌握情况.

解析 （1）∵采用系统抽样方法，每16人抽取一个人，1～16中随机抽取一个数抽到的是7，

∴在第k组抽到的是[7+16（k-1）]，

∴从33～48这16个数中应取的数是7+16×2=39.

（2）①第一步，将504名员工随机编号，依次为001，002，003，…，503，504，将其等距分成8段，每一段有63个个体.

第二步，在第一段（001～063）中用简单随机抽样方法随机抽取一个号码作为起始号码，比如26号.

第三步，起始号+间隔的整数倍，确定各个个体：将编号为26，26+63，26+63×2，…，26+63×7的个体抽出组成样本.

②第一步，用随机方式给每个个体编号：001，002，003，…，503，504.

第二步，利用随机数表法剔除4个个体，比如剔除编号为004，135，069，308的4个个体；然后再对余下的500名员工重新编号，分别为001，002，003，…，499，500，并等距分成50段，每段10个个体.

第三步，在第一段001，002，003，…，010中用简单随机抽样方法抽出一个号码（如006）作为起始号码.

第四步，起始号+间隔的整数倍，确定各个个体，将编号为006，016，026，…，486，496的个体抽出组成样本.

答案 （1）39 （2）见解析

点评 设计系统抽样应关注的几个问题：（1）系统抽样一般是等距离抽取，适合总体中个体数较多、个体无明显差异的情况；（2）总体均匀分段，通常在第一段（也可以选在其他段）中采用简单随机抽样的方法抽取一个编号，再通过将此编号加段距的整数倍的方法得到其他的编号，注意要保证每一段中都能取到一个个体；（3）若总体不能均匀分段，要将多余的个体剔除（通常用随机数表的方法），不影响总体中每个个体被抽到的可能性.

简单随机抽样与系统抽样的综合问题

例3 某集团有员工1019人，其中获得过国家级表彰的有29人，其他人员990人. 该集团拟组织一次出国学习，参加人员确定为：获得过国家级表彰的人员5人，其他人员30人. 如何确定人选？

解析 获得过国家级表彰的人员选5人，适宜使用抽签法；其他人员选30人，适宜使用系统抽样法.

（1）确定获得过国家级表彰的人员人选：

①用随机方式给29人编号，号码为1，2，…，29；

②将这29个号码分别写在一张小纸条上，揉成小球，制成号签；

③将制得的号签放入一个不透明的袋子中，搅拌均匀；

④从袋子中逐个抽取5个号签（不放回），并记录上面的号码；

⑤从总体中将与抽到的号签的号码相一致的个体选出，人选就确定了.

（2）确定其他人员人选：

第一步：将990名其他人员重新编号（分别为1，2，…，990），并分成30段，每段33人.

第二步，在第一段1，2，…，33这33个编号中用简单随机抽样法抽出一个（如3）作为起始号码.

第三步，将编号为3，36，69，…，960的个体选出，人选就确定了.

由（1）（2）确定的人选组合在一起就是最终确定的人选.

点评 系统抽样与简单随机抽样的区别：（1）系统抽样比简单随机抽样更容易实施，可节约抽样成本. （2）系统抽样所得样本的代表性与具体的编号有关；而简单随机抽样所得样本的代表性与个体的编号无关. 如果编号的个体特征随编号的变化呈一定的周期性，可能会使抽样的代表性很差. （3）系统抽样的应用比简单随机抽样的应用更广泛，尤其是工业生产线上產品质量的检验，由于不知道产品的数量，因此不能用简单随机抽样.

系统抽样与简单随机抽样的联系：（1）将总体均分后的起始部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样. （2）与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的. （3）与简单随机抽样一样是不放回的抽样. （4）总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除再进行系统抽样.

[练习]

1. 某工厂平均每天生产某种机器零件大约10000件，要求产品检验员每天抽取50件零件，检查其质量状况，采用系统抽样方法抽取，若抽取的第一组中的号码为0010，则第三组抽取的号码为________.

2.用系统抽样法（按等距离的规则）要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号.按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是________.

3. 为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）

A.50 B.40

C.25 D.20

[参考答案]

1. 0410 2. 5 3. Cendprint