矩阵理论在企业投入产出中的分析与应用

熊靖 贾续毅

摘 要：通过运用高等代数中的矩阵理论，在企业管理投资中引入消耗系数，构建投入产出模型，建立平衡方程组，进行矩阵计算并求出线性解。据此对企业的经济指标、生产效益做出评估与预测，为企业投资生产提供相对优化的策略。

关键词：矩阵；经济学模型；消耗系数；投入产出；市场应用

在当今市场经济中，一个企业生产多种产品时，对于所生产的各种产品，它们之间存在着复杂的关系。在市场经济条件下，企业需要根据市场的变化来预测以及调整生产销售目标，故需要解决如何根据生产需求来安排企业内部各种产品的生产，如何安排各种外购产品的补给，以及如何在保证市场需求条件下更好地安排企业的生产方案及提高生产效益等诸多问题。

一、投入产出中的消耗系数

在对一企业进行投入产出分析过程中，可以使用直接消耗系数来反映直接消耗程度的大小。直接消耗系数表示一个产业部门在生产过程中直接消耗其他部门产出量的比例。将一个经济系统划分为n个不同的部门，用xij表示第j个部门在生产运营中需要直接消耗的第i个部门的产品等价值总量，用XJ表示第j个部门的产品等价值量，记为：

通过直接消耗系数可以将各个产业部门之间存在着的技术和物质上的联系表现出来。同时各个产业部门之间的制约和相互依存关系的相对大小也可通过直接消耗系数来反映。

将某个产业部门生产单位最终产品时，直接和间接消耗其他产业部门的产品等价值总量定义为完全消耗系数，该系数能系统地反映每个产业部门之间的相互数量消耗关系。计算公式可表示为：完全消耗系数=直接消耗+一次间接消耗+二次间接消耗+...n次消耗系数=直接消耗+所有的间接消耗。

二、消耗系数的实际意义

根据公式，能够直接计算出aij的数值。由经济的客观规律可知aij的范围在0到1之间，aij的大小能够说明两个产业部门之间的依存关系。aij=0表示两个产业部门之间没有必然的依存关系；若aij的值较大，则说明第j个产业部门依赖于第i个产业部门的依存性就越大；反之，若aij变得很小，那就说明第j个产业部门依赖于第i个产业部门的依存性就越小。完全消耗系数不能直接计算，但可由直接消耗系数计算。采用逆推法可得完全消耗矩阵表达式：

三、预测企业未来产出值

四、实际案例分析

1.问题提出

某地区有一大型集团企业，充分利用当地自然资源（丰富的铁矿和煤矿），设该企业有三个主要部门：煤矿部门、炼钢部门、火电厂部门。企业开采价值一万元的煤，需要消耗价值0.15万元的钢材（炼钢部门提供，下同）和价值0.30万元的电费（火电厂部门提供，下同）；企业锻造出价值一万元的钢材，需要消耗价值0.20万元的煤（煤矿部门提供，下同）和价值0.02万元的钢材，以及0.16万元的电费；企业发出价值一万元的电力，需要消耗0.40万元的煤，0.01万元的钢材，以及0.05万元的电费。在某一月该企业接到外部500万的煤货订单，800万的钢材订单，200万电力订单。

问企业在该月总产值达到多少才能满足自身及外界需求？三个部门之间相互需要消耗多少产值？三个部门分别创造多少新价值？

2.建立企业投入产出的数学模型并进行矩阵运算

三个部门的总产值之和为3132（单位：万元，下同），为之前2616的1.2倍；细化到各个部门，1159.20，1162.80，810.00也分别为965.82，971.08，679.09的1.2倍。由此可知，这种情况符合规模收益不变的假设条件，以此可以确定该方法能够对未来的经济走势进行合理预估。

五、结语

在当今市场环境千变万化的情形下，企业应对生产计划做出科学合理的制定以及科学合理的动态性调整。

企业在进行生产销售之前，应通过市场调查，及对往常数据、发展趋势进行分析，对产品计划产量和需求量进行有效预测。为避免资金、物质材料、人力资源等的资源浪费，企业应该以市场的需求量出发，制定生产计划并对生产过程进行资源的合理配置，依此对生产进度和工作计划进行安排和规划。

参考文献：

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[6]曼昆.经济学原理[M].7版.梁小民，梁碩，译.北京大学出版社，2016.

作者简介：熊靖（1998- ），男，汉族，贵州贵阳人，西北工业大学理学院本科生，研究方向：现代经济领域中的数学应用；贾续毅（1999- ），男，汉族，河南安阳人，西北工业大学航天学院本科生，研究方向：非线性动态经济学